| Matika krokem - 5.lekce ... |
|
Limita, derivace a integrál 5.lekce - Aplikace derivace funkce |
Vytisknout |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Skype výuka, doučování
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A. Výklad a ukázkové příklady
Derivace funkce má široké uplatnění nejen v matematice, ale i ve fyzice, chemii i ostatních přírodních vědách. Pokud známe funkci, charakterizující určitý děj, potom derivace této funkce popisuje okamžitou změnu tohoto děje, tedy okamžitou rychlost děje. To je hlavní motiv řady příkladů, z nichž některé si ukážeme. Rozdělíme je do několika oblastí: Tečna a normála grafu funkce Touto aplikací derivace jsme se již zabývali v 3.lekci, proto jenom stručně shrneme. Derivace funkce udává směrnici tečny kt ke grafu funkce f v bodě T[xo,yo]. Rovnice tečny grafu funkce v bodě T[xo,yo] má tvar: y - yo = kt(x - xo) Normála je přímka procházející bodem T kolmo k tečně, její směrnice kn = -1/kt a rovnice: y - yo = kn(x - xo) Příklady najdete ve zmiňované 3.lekci. Nalezení největší (nejmenší) hodnoty V úlohách typu najděte nejkratší vzdálenost, největší objem, maximální rychlost atd. aplikujeme hledání globálních (lokálních) extrémů na funkci, popisující aktuální veličinu. Příklad 40: Vypočtěte rozměry co největšího (plochou) obdélníkového výběhu pro slepice, máme-li na oplocení k dispozici 50 m pletiva a jednu stranu výběhu tvoří stěna budovy.
Obecně tedy musíme nejprve určit funkci popisující zkoumanou závislost a splňující dané podmíny. (V našem příkladě funkci vyjadřující obsah výběhu při dané délce pletiva) Požadovaná funkce musí mít pouze jednu proměnnou - jen u funkcí jedné proměnné dokážeme zatím zjišťovat jejich průběh a další vlastnosti. Potom u této funkce hledáme globální extrémy. Příklad 41: Na válcovou konzervu se má spotřebovat 5 dm2 bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší objem?
A něco z fyziky. Příklad 42: Výkon baterie s elektromotorickým napětím Ue a vnitřním odporem Ri je P = UeI - I2Ri. Při jakém proudu bude výkon maximální?
l´Hospitalovo pravidlo Při výpočtu limit nám dělal problémy neurčitý výraz typu  ,
tedy  , kde f(xo) = g(xo) = 0. Zkusme se na tento
případ podívat jinak - "derivačně". Vyjádřeme limitu podílu derivací funkcí ve zmíněném bodě xo: , protože g(xo) = f(xo) = 0Tím dostáváme první l´Hospitalovo pravidlo, které umožňuje z existence limity podílu derivovaných funkcí vypočítat limitu podílu funkcí u tohoto neurčitého výrazu :
Příklad 43: Vypočtěte: 
l´Hospitalovo pravidlo lze aplikovat i opakovaně: Příklad 44: Vypočtěte: 
Obdobným způsobem lze na výpočet limity typu 
aplikovat druhé l'Hospitalovo pravidlo.
:
Příklad 45: Vypočtěte: 
I druhé l´Hospitalovo pravidlo lze aplikovat opakovaně, dokonce ho lze kombinovat s prvním pravidlem. Ostatní typy neurčitých výrazů lze převést na tyto dva typy a počítat je také l´Hospitalovým pravidlem. Příklad 46: Vypočtěte: 
Neurčité typy  nejprve zlogaritmujeme, potom převedeme na typ
nebo a požijeme
l´Hospitalova pravidla. Nakonec odlogaritmujeme a vypočteme původní limitu.Příklad 47: Vypočtěte: 
Přibližné řešení rovnic 
Při numerickém řešení rovnice opakovaně počítáme přibližné hodnoty (aproximace) kořenu a tím se přibližujeme k hodnotě
skutečného kořenu rovnice dokud není dosaženo požadovné přesnosti. Jednou z používaných metod je Newtonova metoda (metoda tečen). Jako první aproximaci (x1) kořene rovnice v intervalu <A,B> použijeme střed tohoto intervalu. V něm sestrojíme tečnu a její průsečík s osou x je novou aproximací (x2) kořene. V tomto bodě sestrojíme opět tečnu atd. Další, přesnější, novou aproximaci kořene tedy hledáme jako průsečík tečny ve staré aproximaci s osou x. Máme-li řešit rovnici f(x) = 0 , pak rovnice tečny ve starém průsečíku (xn) bude y - f(xn) = f´(xn)(x - xn) Průsečík s osou x získáme vyjádřením x z rovnice: 0 - f(xn) = f´(xn)(x - xn) Tedy: x = xn - f(xn)/f´(xn) Tento průsečík bude novou aproximací (xn+1) kořene. Výsledný vztah pro výpočet nové aproximace tedy zní: xn+1 = xn - f(xn)/f´(xn) Tento proces opakujeme tak dlouho, dokud nedosáhneme požadované přesnosti, tedy dokud absolutní hodnota rozdílu xn+1 - xn nebude menší než dané číslo - požadovaná přesnost.
Příklad 48: Najděte přibližně kořen rovnice x4 + x - 1 = 0 v intervalu (0,1)
B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele C. Příklady na procvičení učiva Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce. Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
D. Kontrolní test E.Náhodný test F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem) Komunikace s učitelem (tutorem): Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Označme šířku obdélníkového výběhu x a délku y metrů (podle obrázku).
Vzhledem k délce pletiva platí: 2x + y = 50
(0,25)
Označme poloměr podstavy válcové konzervy r a její výšku v podle obrázku.
(druhý, opačný nemá pro nás význam).
Vlevo od něho (je to přibližně 0,515) je derivace kladná (V´(0) = 2,5 > 0) a vpravo je záporné (V´(1) = 2,5 - 3.p < 0).
Proto v tomto bodě nastává lokální maximum. Protože je to v intervalu (0,+
) jediný
extrém, je zároveň i globální maximum této funkce. Poloměr požadované konzervy je tedy přesně 
(což je přibližně 1,03 dm). 
0 a existuje limita
, pak je to i hledaná limita, tedy platí:
a to je i výsledná, hledaná limita.
dostáváme opět neurčitý výraz typu 
a tím dostáváme i výslednou, hledanou limitu.
a to je i výsledná, hledaná limita.
.
.
0,7919