Matika krokem - 2.lekce ...

Limita, derivace a integrál
2.lekce - Jednostranná a nevlastní limita
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Jednostranné limity

Zatím jsme nerozlišovali, zda se hodnoty proměnné x k bodu a přibližují zprava (od větších hodnot) nebo zleva (od menších hodnot), protože to nehrálo žádnou roli, bylo to v obou případech stejné. Existují však příklady funkcí, kdy je třeba rozlišovat, zda se k danému bodu a přibližujeme zprava nebo zleva.

Začneme opět příkladem.
Na obrázku máme funkci f: y = f(x), která má v bodě a hodnotu f(a) = A, ale číslo A není limitou f(x) v bodě a (není v bodě a spojitá).

Blížíme-li se k bodu a zleva ( x < a ) , blíží se hodnota funkce f(x) (zřejmé z grafu) číslu B. Říkame, že funkce y = f(x) má v bodě a limitu zleva číslo B a zapisujeme:
Blížíme-li se k bodu a zprava ( x > a ) , blíží se hodnota funkce f(x) číslu C. Říkame, že funkce y = f(x) má v bodě a limitu zprava číslo C a zapisujeme:
Těmto limitám také říkáme jednostranné limity v bodě a.

Při matematickém vyjádření se proti obecné definici limity (lekce 1) změní pouze posuzování "blízkosti" k bodu a. Budeme-li se přibližovat zleva, hodnoty x budou patřit do intervalu (a - d,a), tedy platí 0 < a - x < d (viz obrázek - levá část původního intervalu). Při přibližování zprava budou hodnoty x patřit do intervalu (a,a + d) a tedy platí 0 < x - a < d.

Limita zleva funkce f(x) v bodě a je číslo B, pro které platí:
ke každému kladnému číslu e existuje takové kladné číslo d, že |f(x) - L| < e pro všechna x, pro která platí 0 < a - x < d.
Zapisujeme:
(11)
Limita zprava funkce f(x) v bodě a je číslo C, pro které platí:
ke každému kladnému číslu e existuje takové kladné číslo d, že |f(x) - L| < e pro všechna x, pro která platí 0 < x - a < d.
Zapisujeme:
(12)


Souvislost mezi limitou funkce v bodě a a jednostrannými limitami v bodě a upřesňuje následující (zřejmá) věta:

Funkce f(x) má v bodě a limitu právě tehdy, má-li v bodě a limitu zprava i zleva a jsou-li si tyto limity rovny:
(13)

Naše funkce f na obrázku má limitu v bodě a zleva i zprava, ale protože si nejsou rovny, nemá limitu v bodě a.
Pokud je nějaká funkce f v bodě a spojitá, pak se obě jednostrané limity rovnají funkční hodnotě v bodě a.

Příklad 10:Vypočtěte:
= Funkce je v daném bodě spojitá (složená funkce ze spojitých funkcí), bude tedy limita rovna funkční hodnotě:



Příklad 11:Vypočtěte:
= Tato funkce není v bodě x=0 spojitá. Pro limitu v bodě 0 zprava (hodnoty x jsou kladné) platí:

Pro limitu v bodě 0 zleva (hodnoty x jsou záporné) platí:

Limita této funkce v bodě x = 0 tedy neexistuje (jednostranné limity se nerovnají).


Nevlastní limity

Limitou funkce v daném bodě a nemusí být vždy konečné reálné číslo.
Mějme například funkci f: y = x-2. Pokud se přibližujeme k bodu x = 0 ať už zleva nebo zprava, hodnoty funkce rostou nade všechny meze. Říkáme také, že má funkce f v bodě x = 0 nevlastní limitu (na rozdíl od těch konečných, kterým říkáme vlastní).
Co to matematicky znamená, že hodnoty funkce rostou nade všechny meze? Nabývá funkce při přibližování k 0 hodnot větších než 10000? Ano, pro x z intervalu (-10-2,0)U(0,10-2) bude y = x-2 > 10000 . Ke každému kladnému číslu K lze nalézt hodnoty x z "blízkosti" bodu x = 0 pro které bude funkce nabývat hodnot ještě větších než číslo K.

Funkce f(x) má v bodě a nevlastní (nekonečnou) limitu + jestliže ke každámu kladnému číslu K existuje takové d, že pro všechna x, pro která platí 0 < |x - a| < d je f(x) > K. Zapisujeme :
(14)

Podobně můžeme definovat nevlastní limitu + v bodě a zleva (změní se v definici pouze formulace ...pro všechna x, pro která platí 0 < a - x < d ... nebo zprava (změní se v definici formulace ...pro všechna x, pro která platí 0 < x - a < d ... .

Analogicky zavádíme nevlastní limitu - .
V definici (14) se změmí pouze ...ke každému zápornému číslu K .... ... je f(x) < K.

Podobně můžeme definovat nevlastní limitu - v bodě a zleva (změní se v definici pouze formulace ...pro všechna x, pro která platí 0 < a - x < d ... nebo zprava (změní se v definici formulace ...pro všechna x, pro která platí 0 < x - a < d ... .

Ukažme si konkrétní příklady na výpočet jednostranných a nevlastních limit.
Nejprve se snažíme dosazením zjistit hodnotu funkce v daném bodě. Pokud dostaneme výraz typu:
- nazýváme je neurčité výraz - potom musíme neurčitý výraz odstranit, např. po úpravách funkci nahradit funkcí spojitou (podle věty o limitě dvou funkcí). Pokud nedostaneme neurčitý výraz, často pomůže graf příslušné funkce nebo dosazování několika "přibližujících se" bodů.
(16)


Příklad 12:Určete limity funkcí f: y = 1/x v bodě x = 0 zleva, zprava.
= Funkce f: y = 1/x :Jestliže se bude x zleva přibližovat k 0 (hodnoty x budou záporné a stále v abs.hodnotě menší ... např. -0,1 ; -0,01 ; -0,001 ... ) budou se hodnoty y = 1/x neustále zmenšovat (-10 ; -100 ; -1000). Je tedy limita této funkce v bodě x = 0 zleva rovna -. Zápis:
Jestliže se bude x zprava přibližovat k 0 (hodnoty x budou kladné a stále v abs.hodnotě menší ... např. 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ... ) budou se hodnoty y = 1/x neustále zvětšovat (10 ; 100 ; 1000). Je tedy limita této funkce v bodě x = 0 zprava rovna +. Zápis:
¨ Celkově limita funkce f v bodě x = 0 neexistuje, protože se obě jednostranné limity nerovnají.
Zápis:


Příklad 13:Určete limity funkcí g: y = -1/x v bodě x = 0 zleva, zprava.
= Funkce f: y = -1/x : Jestliže se bude x zleva přibližovat k 0 (hodnoty x budou záporné a stále v abs.hodnotě menší ... např. -0,1 ; -0,01 ; -0,001 ... ) budou se hodnoty y = -1/x neustále zvětšovat (10 ; 100 ; 1000). Je tedy limita této funkce v bodě x = 0 zleva rovna +. Zápis:
Jestliže se bude x zprava přibližovat k 0 (hodnoty x budou kladné a stále v abs.hodnotě menší ... např. 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ... ) budou se hodnoty y = -1/x neustále zmenšovat (-10 ; -100 ; -1000). Je tedy limita této funkce v bodě x = 0 zprava rovna -. Zápis:
Celkově limita funkce f v bodě x = 0 neexistuje, protože se obě jednostranné limity nerovnají.
Zápis:

Tyto limity je užitečné si zapamatovat!.


Limita v nevlastním bodě

Nyní nás nebude zajímat limita v určitém, konkrétním bodě a, ale pro x blížící se k + nebo - , tedy v nevlastním bodě. Tato limita může být vlastní (konečná) nebo nevlastní (nekonečná).

Tak například pro funkci f: y = 1/x platí: jestliže se bude x neustále zvětšovat (100 ; 1000 ; 10000) , budou se kladné hodnoty y = 1/x neustále zmenšovat (1/100 ; 1/1000 ; 1/10000), tedy pro x neomezeně rostoucí se budou hodnoty funkce neomezeně blížit k číslu 0. Je tedy limita funkce f v nevlastním bodě + rovna 0. Zápis:
Intuitivně tedy k libovolně zvolené "blízkosti" k číslu 0 (1/100 ; 1/1000 ; 1/10000) lze nalézt odpovídající hodnotu x0 (100 ; 1000 ; 10000), tak že pro ještě větší x (větší než x0) budou hodnoty y = 1/x ještě bližší k číslu 0.

Matematicky a obecně:
Funkce f(x) má v nevlastním bodě + limitu A, jestliže ke každému kladnému číslu e existuje takové x0, že pro všechna x > x0 platí, že |f(x) - A| < e. Zapisujeme :
(17)

Obdobně lze definovat v nevlastním bodě nevlastní limitu (tedy limitu + nebo -+).

Tak například pro funkci f: y = lnx platí: jestliže se bude x neustále zvětšovat (nade všechny meze) , budou se kladné hodnoty y = lnx také zvětšovat (nade všehny meze), tedy pro x neomezeně rostoucí budou hodnoty funkce také neomezeně růst0. Je tedy limita funkce f v nevlastním bodě + rovna +. Zápis:
Intuitivně tedy k libovolně velkému číslu K lze vždy nalézt odpovídající bod (hodnotu) x0 tak, že pro hodnoty x větší než x0 budou hodnoty funkce ještě větší než číslo K.

Matematicky a obecně:
Funkce f(x) má v nevlastním bodě + nevlastní limitu +, jestliže ke každému kladnému číslu K existuje takové číslo x0, že pro všechna x > x0 platí, že f(x) > K. Zapisujeme :
(18)

Ukážeme si několik příkladů výpočtu limity v nevlastním bodě.

Příklad 14:Vypočtěte:
= Nejprve vytkneme -4x3:

Limita funkce v závorce je rovna 1 (užitím limity z předchozího příkladu a věty o limitě operací):
Využijeme opět zmíněnou větu a dostáváme výsledek :



Příklad 15:Vypočtěte:
= Nejprve vytkneme obdobným způsobem jak v čitateli, tak i ve jmenovateli zlomku:

Vypočteme limity v závorce a dokončíme výsledek:



Příklad 16:Vypočtěte:
= Nejprve vytkneme jak v čitateli, tak i ve jmenovateli zlomku:

Vypočteme limity v závorce a dokončíme výsledek:



Příklad 17:Vypočtěte:
= Nejprve vytkneme jak v čitateli, tak i ve jmenovateli zlomku:

Vypočteme limity v závorce a dokončíme výsledek:



Je-li tedy stupeň polynomu v čitateli větší než ve jmenovateli, výsledkem je nevlastní limita, jso-li stupně stejné, je výsledná limita vlastní (konečná) a je-li stupeň jmenovatele větší, výsledná limita je číslo 0.

Příklad 18:Vypočtěte:
= Nejprve vytkneme jak v čitateli, tak i ve jmenovateli zlomku:

Vypočteme limity v závorce a dokončíme výsledek:



Výpočet limit nám umožní a usnadní zapamtování některých důležitých, základních limit. Patří mezi ně například:






(19)




B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočítejte:       


Příklad 2:    Vypočítejte:       


Příklad 3:    Vypočítejte:       


Příklad 4:    Vypočítejte:       


Příklad 5:    Vypočítejte:       


Příklad 6:    Vypočítejte:       


Příklad 7:    Vypočítejte:       


Příklad 8:    Vypočítejte:       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte:   CHelp Výsledek
2Vypočtěte:   BHelp Výsledek
3Vypočtěte:   CHelp Výsledek
4Vypočtěte:   BHelp Výsledek
5Vypočtěte:   CHelp Výsledek
6Vypočtěte:   BHelp Výsledek
7Vypočtěte:   CHelp Výsledek
8Vypočtěte:   BHelp Výsledek
9Vypočtěte:   CHelp Výsledek
10Vypočtěte:   BHelp Výsledek
11Vypočtěte:   CHelp Výsledek
12Vypočtěte:   BHelp Výsledek
13Vypočtěte:   CHelp Výsledek
14Vypočtěte:   BHelp Výsledek
15Vypočtěte:   CHelp Výsledek
16Vypočtěte:   BHelp Výsledek
17Vypočtěte:   CHelp Výsledek
18Vypočtěte:   BHelp Výsledek
19Vypočtěte:   CHelp Výsledek
20Vypočtěte:   BHelp Výsledek
21Vypočtěte:   CHelp Výsledek
22Vypočtěte:   BHelp Výsledek
23Vypočtěte:   CHelp Výsledek
24Vypočtěte:   BHelp Výsledek
25Vypočtěte:   CHelp Výsledek
26Vypočtěte:   BHelp Výsledek
27Vypočtěte:   CHelp Výsledek
28Vypočtěte:   BHelp Výsledek
29Vypočtěte:   CHelp Výsledek
30Vypočtěte:   BHelp Výsledek
31Vypočtěte:   CHelp Výsledek
32Vypočtěte:   BHelp Výsledek
33Vypočtěte:   CHelp Výsledek
34Vypočtěte:   BHelp Výsledek
35Vypočtěte:   AHelp Výsledek
36Vypočtěte:   BHelp Výsledek
37Vypočtěte:   BHelp Výsledek
38Vypočtěte:   BHelp Výsledek
39Vypočtěte:   CHelp Výsledek
40Vypočtěte:   BHelp Výsledek
41Vypočtěte:   CHelp Výsledek
42Vypočtěte:   BHelp Výsledek
43Vypočtěte:   CHelp Výsledek
44Vypočtěte:   BHelp Výsledek
45Vypočtěte:   CHelp Výsledek
46Vypočtěte:   BHelp Výsledek
47Vypočtěte:   CHelp Výsledek
48Vypočtěte:   BHelp Výsledek
49Vypočtěte:   CHelp Výsledek
50Vypočtěte:   BHelp Výsledek
51Vypočtěte:   AHelp Výsledek
52Vypočtěte:   BHelp Výsledek
53Vypočtěte:   AHelp Výsledek
54Vypočtěte:   BHelp Výsledek
55Vypočtěte:   AHelp Výsledek
56Vypočtěte:   BHelp Výsledek
57Vypočtěte:   AHelp Výsledek
58Vypočtěte:   BHelp Výsledek
59Vypočtěte:   AHelp Výsledek
60Vypočtěte:   BHelp Výsledek
61Vypočtěte:   AHelp Výsledek
62Vypočtěte:   BHelp Výsledek
63Vypočtěte:   AHelp Výsledek
64Vypočtěte:   BHelp Výsledek
65Vypočtěte:   AHelp Výsledek
66Vypočtěte:   AHelp Výsledek
67Vypočtěte:   BHelp Výsledek
68Vypočtěte:   AHelp Výsledek
69Vypočtěte:   BHelp Výsledek
70Vypočtěte:   AHelp Výsledek
71Vypočtěte:   CHelp Výsledek
72Vypočtěte:   BHelp Výsledek
73Vypočtěte:   CHelp Výsledek
74Vypočtěte:   BHelp Výsledek
75Vypočtěte:   CHelp Výsledek
76Vypočtěte:   BHelp Výsledek
77Vypočtěte:   CHelp Výsledek
78Vypočtěte:   BHelp Výsledek
79Vypočtěte:   CHelp Výsledek
80Vypočtěte:   BHelp Výsledek
81Vypočtěte:   CHelp Výsledek
82Vypočtěte:   BHelp Výsledek
83Vypočtěte:   CHelp Výsledek
84Vypočtěte:   BHelp Výsledek
85Vypočtěte:   CHelp Výsledek
86Vypočtěte:   BHelp Výsledek
87Vypočtěte:   CHelp Výsledek
88Vypočtěte:   BHelp Výsledek
89Vypočtěte:   CHelp Výsledek
90Vypočtěte:   BHelp Výsledek
91Vypočtěte:   CHelp Výsledek
92Vypočtěte:   BHelp Výsledek
93Vypočtěte:   CHelp Výsledek
94Vypočtěte:   BHelp Výsledek
95Vypočtěte:   CHelp Výsledek
96Vypočtěte:   BHelp Výsledek
97Vypočtěte:   CHelp Výsledek
98Vypočtěte:   BHelp Výsledek
99Vypočtěte:   CHelp Výsledek
100Vypočtěte:   BHelp Výsledek
101Vypočtěte:   CHelp Výsledek
102Vypočtěte:   BHelp Výsledek
103Vypočtěte:   CHelp Výsledek
104Vypočtěte:   BHelp Výsledek
105Vypočtěte:   AHelp Výsledek
106Vypočtěte:   BHelp Výsledek
107Vypočtěte:   BHelp Výsledek
108Vypočtěte:   BHelp Výsledek
109Vypočtěte:   CHelp Výsledek
110Vypočtěte:   BHelp Výsledek
111Vypočtěte:   CHelp Výsledek
112Vypočtěte:   BHelp Výsledek
113Vypočtěte:   CHelp Výsledek
114Vypočtěte:   BHelp Výsledek
115Vypočtěte:   CHelp Výsledek
116Vypočtěte:   BHelp Výsledek
117Vypočtěte:   CHelp Výsledek
118Vypočtěte:   BHelp Výsledek
119Vypočtěte:   CHelp Výsledek
120Vypočtěte:   BHelp Výsledek
121Vypočtěte:   AHelp Výsledek
122Vypočtěte:   BHelp Výsledek
123Vypočtěte:   AHelp Výsledek
124Vypočtěte:   BHelp Výsledek
125Vypočtěte:   AHelp Výsledek
126Vypočtěte:   BHelp Výsledek
127Vypočtěte:   AHelp Výsledek
128Vypočtěte:   BHelp Výsledek
129Vypočtěte:   AHelp Výsledek
130Vypočtěte:   BHelp Výsledek
131Vypočtěte:   AHelp Výsledek
132Vypočtěte:   BHelp Výsledek
133Vypočtěte:   AHelp Výsledek
134Vypočtěte:   BHelp Výsledek
135Vypočtěte:   AHelp Výsledek
136Vypočtěte:   AHelp Výsledek
137Vypočtěte:   BHelp Výsledek
138Vypočtěte:   AHelp Výsledek
139Vypočtěte:   BHelp Výsledek
140Vypočtěte:   AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!