Matika krokem - 8.lekce ...

Limita, derivace a integrál
8.lekce - Integrační metody - substituční metoda
 Vytisknout  
Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

V dalších lekcích se budeme zabývat obtížnějšími partiemi, které pomůžou studentům s hlubším zájmem o matematiku nebo studentům VŠ. Výpočet neurčitých integrálů poskytuje hodně prostoru pro nápad a originální řešení. Zkusme tedy rozšířit dosud získané dovednosti.

Nejprve musíme rozšířit pravidla integrování elementárních funkcí (Platí pro proměnné z definičního oboru výrazů):

(54)

Na příkladech si uvedená pravidla ukážeme:

Příklad 70: Vypočtěte
= Nejprve zlomek rozložíme pomocí dělení polynomů na dvě části (podíl a zbytek):
(x3-2x2+x+2):(x2+1) = x-2
-x3       -x
    -2x2    +2
   +2x2    +2
              +4
Nyní můžeme rozložit původní integrál na dvě části (integrál podílu a zbytku) a na druhý integrál použít pravidla (54):

Výsledek: = x2/2 - 2x + 4arctgx + C

Příklad 71a: Vypočtěte
= V zadání příkladu musíme "vidět" ukryté pravidlo . Nejprve upravíme výraz pod odmocnninou:
-4x2+16x-15 = 1 - (4x2-16x+16) = 1 - (2x-4)2.

Pak již stačí použít substituci:   z = 2x-4 , dz/dx=2   a tedy dx = dz/2
Tím dostáváme:

Po návratu k původní proměnné x dostáváme konečný výsledek:
= 0,5.arcsin(2x-4) + C
Výsledek: = 0,5.arcsin(2x-4) + C


Příklad 71b: Vypočtěte
= Nejprve výraz pod odmocninou upravíme na (rozdíl) součet čtverců:
= =
Pak použijeme substituci t=x-1.
Vyjádříme x=t+1, dx=dt a dosadíme:
= =
Nyní použijeme vztahu vedoucí na přirozený logaritmus:
= =
Nakonec se vrátíme k původní proměnné:
=
Výsledek: =


Poslední dva příklady demonstrují jak důležité je zapamatovat si nahoře uvedená pravidla (64) integrování elementárních funkcí!


1. Substituční metoda

V 6.lekci jsme si ukázali substituční metodu, při které jsme používali pomocné proměnné t = g(x). V minulém příkladě to bylo t = 2x-4. Při výpočtu celé řady integrálů ale pomůžou i substituce jiného typu.


Substituce x = g(t)

Tato substituce často řeší integrály s odmocninami. Zvolíme za x takovou mocninu t, abychom se odmocnin zbavili.

Příklad 72: Vypočtěte
= Abychom se zbavili odmocnin, použijeme substituci   t6 = x.
Potom   dx/dt = 6t5   a   dx = 6t/dt   ,   = t3   a   = t2.
Po dosazení dostáváme:

Zlomek rozložíme na rozdíl dvou zlomků [ t2/(t2+1)=(t2+1)/(t2+1)-1/(t2+1) ], které lze integrovat podle pravidel (54):

Po návratu k původní proměnné x   ( t = ) získáme konečný výsledek:

Výsledek:


Goniometrická substituce

x = a.sint , x = a.cost , x = a.tgt , x = a/tgt

se hodí na integrály obsahující:
    výraz se zjednoduší následným použitím vzorce ( 1-sin2t = cos2t )
    výraz se zjednoduší následným použitím vzorce ( 1+tg2t = 1/cos2t )
    výraz se zjednoduší následným použitím vzorce ( 1/sin2t-1 = cotg2t )


Příklad 73: Vypočtěte
= Položíme x = a.sint , potom dx/dt = a.cost , tedy dx = a.cost.dt. Po dosazení dostáváme:

Po vytknutí a2 , užití vztahu   1-sin2t = cos2t   a odmocnění dostáváme:

Tento integrál vypočteme pomocí goniometrického vzorce   cos2x = (1+cos2x)/2:

Nakonec se vrátíme k původní proměnné x.
Ze vztahu   x = a.sint   vyjádříme   t = arcsin(x/a)  , dále   sint = x/a   ,   sin2t = 2.sint.cost   a dosadíme:

Po roznásobení dostáváme konečný výsledek:
Výsledek:


Příklad 74: Vypočtěte
= Položíme x = a.tgt , potom dx/dt = a/cos2t , tedy dx = a.dt/cos2. Po dosazení dostáváme:

Užitím vztahu   1+tg2t = 1/cos2t   dostáváme:

Tento integrál vypočteme pomocí goniometrického vzorce   cos2x = (1+cos2x)/2:

Nakonec se vrátíme k původní proměnné x.
Ze vztahu   x = a.tgt   vyjádříme   t = arctg(x/a)   , dále   tgt = x/a   , sin2t = x2/(a2+x2)   a dosadíme:

Po roznásobení dostáváme konečný výsledek:

Výsledek:



B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočtěte:       


Příklad 2:    Vypočtěte:       


Příklad 3:    Vypočtěte:       


Příklad 4:    Vypočtěte:       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte CHelp Výsledek
2Vypočtěte BHelp Výsledek
3Vypočtěte BHelp Výsledek
4Vypočtěte CHelp Výsledek
5Vypočtěte BHelp Výsledek
6Vypočtěte BHelp Výsledek
7Vypočtěte CHelp Výsledek
8Vypočtěte BHelp Výsledek
9Vypočtěte BHelp Výsledek
10Vypočtěte BHelp Výsledek
11Vypočtěte BHelp Výsledek
12Vypočtěte AHelp Výsledek
13Vypočtěte BHelp Výsledek
14Vypočtěte BHelp Výsledek
15Vypočtěte AHelp Výsledek
16Vypočtěte BHelp Výsledek
17Vypočtěte BHelp Výsledek
18Vypočtěte CHelp Výsledek
19Vypočtěte BHelp Výsledek
20Vypočtěte BHelp Výsledek
21Vypočtěte AHelp Výsledek
22Vypočtěte BHelp Výsledek
23Vypočtěte BHelp Výsledek
24Vypočtěte AHelp Výsledek
25Vypočtěte BHelp Výsledek
26Vypočtěte BHelp Výsledek
27Vypočtěte AHelp Výsledek
28Vypočtěte BHelp Výsledek
29Vypočtěte BHelp Výsledek
30Vypočtěte AHelp Výsledek
31Vypočtěte BHelp Výsledek
32Vypočtěte BHelp Výsledek
33Vypočtěte AHelp Výsledek
34Vypočtěte BHelp Výsledek
35Vypočtěte BHelp Výsledek
36Vypočtěte BHelp Výsledek
37Vypočtěte AHelp Výsledek
38Vypočtěte BHelp Výsledek
39Vypočtěte BHelp Výsledek
40Vypočtěte AHelp Výsledek
41Vypočtěte BHelp Výsledek
42Vypočtěte BHelp Výsledek
43Vypočtěte BHelp Výsledek
44Vypočtěte AHelp Výsledek
45Vypočtěte BHelp Výsledek
46Vypočtěte BHelp Výsledek
47Vypočtěte CHelp Výsledek
48Vypočtěte BHelp Výsledek
49Vypočtěte BHelp Výsledek
50Vypočtěte AHelp Výsledek
51Vypočtěte CHelp Výsledek
52Vypočtěte BHelp Výsledek
53Vypočtěte BHelp Výsledek
54Vypočtěte CHelp Výsledek
55Vypočtěte BHelp Výsledek
56Vypočtěte BHelp Výsledek
57Vypočtěte CHelp Výsledek
58Vypočtěte BHelp Výsledek
59Vypočtěte BHelp Výsledek
60Vypočtěte BHelp Výsledek
61Vypočtěte BHelp Výsledek
62Vypočtěte AHelp Výsledek
63Vypočtěte BHelp Výsledek
64Vypočtěte BHelp Výsledek
65Vypočtěte AHelp Výsledek
66Vypočtěte BHelp Výsledek
67Vypočtěte BHelp Výsledek
68Vypočtěte CHelp Výsledek
69Vypočtěte BHelp Výsledek
70Vypočtěte BHelp Výsledek
71Vypočtěte AHelp Výsledek
72Vypočtěte BHelp Výsledek
73Vypočtěte BHelp Výsledek
74Vypočtěte AHelp Výsledek
75Vypočtěte BHelp Výsledek
76Vypočtěte BHelp Výsledek
77Vypočtěte AHelp Výsledek
78Vypočtěte BHelp Výsledek
79Vypočtěte BHelp Výsledek
80Vypočtěte AHelp Výsledek
81Vypočtěte BHelp Výsledek
82Vypočtěte BHelp Výsledek
83Vypočtěte AHelp Výsledek
84Vypočtěte BHelp Výsledek
85Vypočtěte BHelp Výsledek
86Vypočtěte BHelp Výsledek
87Vypočtěte AHelp Výsledek
88Vypočtěte BHelp Výsledek
89Vypočtěte BHelp Výsledek
90Vypočtěte AHelp Výsledek
91Vypočtěte BHelp Výsledek
92Vypočtěte BHelp Výsledek
93Vypočtěte BHelp Výsledek
94Vypočtěte AHelp Výsledek
95Vypočtěte BHelp Výsledek
96Vypočtěte BHelp Výsledek
97Vypočtěte CHelp Výsledek
98Vypočtěte BHelp Výsledek
99Vypočtěte BHelp Výsledek
100Vypočtěte AHelp Výsledek
101Vypočtěte CHelp Výsledek
102Vypočtěte BHelp Výsledek
103Vypočtěte BHelp Výsledek
104Vypočtěte CHelp Výsledek
105Vypočtěte BHelp Výsledek
106Vypočtěte BHelp Výsledek
107Vypočtěte CHelp Výsledek
108Vypočtěte BHelp Výsledek
109Vypočtěte BHelp Výsledek
110Vypočtěte BHelp Výsledek
111Vypočtěte BHelp Výsledek
112Vypočtěte AHelp Výsledek
113Vypočtěte BHelp Výsledek
114Vypočtěte BHelp Výsledek
115Vypočtěte AHelp Výsledek
116Vypočtěte BHelp Výsledek
117Vypočtěte BHelp Výsledek
118Vypočtěte CHelp Výsledek
119Vypočtěte BHelp Výsledek
120Vypočtěte BHelp Výsledek
121Vypočtěte AHelp Výsledek
122Vypočtěte BHelp Výsledek
123Vypočtěte BHelp Výsledek
124Vypočtěte AHelp Výsledek
125Vypočtěte BHelp Výsledek
126Vypočtěte BHelp Výsledek
127Vypočtěte AHelp Výsledek
128Vypočtěte BHelp Výsledek
129Vypočtěte BHelp Výsledek
130Vypočtěte AHelp Výsledek
131Vypočtěte BHelp Výsledek
132Vypočtěte BHelp Výsledek
133Vypočtěte AHelp Výsledek
134Vypočtěte BHelp Výsledek
135Vypočtěte BHelp Výsledek
136Vypočtěte BHelp Výsledek
137Vypočtěte AHelp Výsledek
138Vypočtěte BHelp Výsledek
139Vypočtěte BHelp Výsledek
140Vypočtěte AHelp Výsledek
141Vypočtěte BHelp Výsledek
142Vypočtěte BHelp Výsledek
143Vypočtěte BHelp Výsledek
144Vypočtěte AHelp Výsledek
145Vypočtěte BHelp Výsledek
146Vypočtěte BHelp Výsledek
147Vypočtěte CHelp Výsledek
148Vypočtěte BHelp Výsledek
149Vypočtěte BHelp Výsledek
150Vypočtěte AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!