Matika krokem - 3.lekce ...

Komplexní čísla
3.lekce - Absolutní hodnota kompl.čísla, geometrické znázornění kompl.čísel
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + bi je reálné číslo:
(9)

Pro počítání s absolutními hodnotami komplexních čísel platí podobná pravidla jako u čísel reálných. Tedy absolutní hodnota součinu, resp. podílu komplexníxh čísel je rovna součinu, resp. podílu jejich absolutních hodnot.

Příklad 1:Určete absolutní hodnotu čísla z:
=
a tedy:


Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné, se nazývá komplexní jednotka.
Ověřte si, že komplexní jednotkou je např. (1 + 2i)/(2 - i)
Komplexními jednotkami jsou z čísel reálných pouze 1 a -1, z ryze imaginárních i a -i.
Komplexní čísla nelze uspořádat podle velikosti.

Geometrické znázornění komplexních čísel

Komplexní číslo můžeme chápat také jako uspořádanou dvojici reálných čísel - první je reálná část kompl.čísla a druhá imaginární část kompl.čísla. Protože existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi množinou všech uspořádaných dvojic real.čísel a množinou všech bodů v rovině, je zřejmé, že můžeme komplexní čísla znázornit jako body roviny (Gaussova). Rovina komplexníxh čísel (Gaussova rovina) je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexníxh čísel.


Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic.
(10)



Všechna komplexní čísla, která mají stejnou absolutní hodnotu tedy leží na kružnici se středem v počátku a s poloměrem |z|. Komplexní jednotky leží na jednotkové kružnici.

Příklad 2:V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí: |3 - 4i| > |z| > |-i|
= Číslo z má vzdálenost od počátku menší než číslo 3 - 4i a větší než číslo -i. Protože |3 - 4i| = 5 a |-i| = 1 je jeho vzdálenost od počátku menší než 5 (vnitřek kruhu o poloměru 5) a větší než 1 (vnějšek kruhu s poloměrem 1). Hledaná čísla z tedy leží v mezikruží určeném těmito kružnicemi (bez kružnic).



Jsou-li dána dvě komplexní čísla x = a + bi , y = c + di potom pro absolutní hodnotu jejich rozdílu platí:
|x - y| = |(a + bi) - (c + di)| = |(a - c) + (b - d)i| =
a to je vzdálenost obrazů kompl.čísel x a y.

Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině. (11)

Příklad 3: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí: |z - i| |z + 2 - 3i|
= 1.způsob
|z - i| určuje vzdálenost čísla z od čísla i , |z + 2 - 3i| = |z - (-2 + 3i)| představuje vzdálenost čísla z od čísla -2 + 3i
Hledáme tedy všechna čísla z , jejichž vzdálenost od čísla i je menší nebo rovna vzdálenosti od čísla -2 + 3i. Rovnost vzdáleností od dvou daných bodů nastává na ose úsečky učené těmito body. Požadovaná nerovnost platí v polorovině určené touto osou (včetně osy) a bližším bodem, tj. i.


2.způsob
Dosadíme-li za z = x + iy dostáváme:
|x + iy - i| |x + iy + 2 - 3i|
|x + i{y - 1]| |x + 2 + i(y - 3)|
po vyjádření absolutních hodnot a úpravách:

x2 + (y - 1)2 (x + 2)2 + (y - 3)2
x2 + y2 - 2y + 1 x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 9
0 4x - 4y +12
0 x - y + 3
Výsledek:    Toto je analytické vyjádření poloroviny, která je na obrázku v 1.způsobu řešení.


Pokud výraz v absolutní hodnotě nepředstavuje rozdíl komplexních čísel, snažíme se ho na rozdíl upravit.

Příklad 4:V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:
= (z nemůže být 3) Po úpravách dostáváme:
|z| > 2|z - 3|
z > 4(z - 3)()
z > 4(z - 3)( - 3)
z > 4z - 12z - 12 + 36
3z - 12z - 12 + 36 < 0
z - 4z - 4 + 12 < 0
(z - 4)( -4) - 4 < 0
(z - 4)( -4) < 4
|z - 4| < 2
Výsledek:  Obrazy kompl.čísel z vyplňují vnitřek kruhu (bez kružnice a bodu [3,0]) se středem v bodě 4 a s poloměrem 2.


Příklad 5: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:
= (z nemůže být 0) Absolutní hodnotu upravíme:


To znamená, že |1 + z| < 2 tedy |z - (-1)| < 2. Jedná se tedy o vnitřek kruhu se středem v bodě -1 a s poloměrem 2.
Výsledek:    vnitřek kruhu se středem v bodě -1 a s poloměrem 2 (bez [0,0]).



B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočítejte:       


Příklad 2:    V Gaus.rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí: |1 + 2i| < |z| |2 - 3i|       


Příklad 3:    V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:       


C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Rozložte v součin výrazy:   a) 4x2+1 b) 5 + 2y2 CHelp Výsledek
2Vypočtěte:   BHelp Výsledek
3V Gaussově rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | = 3 CHelp Výsledek
4Vypočtěte:   BHelp Výsledek
5Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí::   |z - 1 - i| = z CHelp Výsledek
6Vypočtěte:   BHelp Výsledek
7Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=a+iCHelp Výsledek
8Vypočtěte:   ||2 - 3i| - i|2 + i||BHelp Výsledek
9Vypočtěte:   BHelp Výsledek
10Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=a(3+4i)CHelp Výsledek
11Vypočtěte:   ||2 + 3i|2 + (2 + 3i)2|BHelp Výsledek
12Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=1/2+aiCHelp Výsledek
13Vypočtěte:   BHelp Výsledek
14Vypočtěte:   AHelp Výsledek
15Vypočtěte:   BHelp Výsledek
16Určete všechna kompl.čísla z, která vyhovují soustavě rovnic:   AHelp Výsledek
17Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí::   |z + 1| = |z - 2i|BHelp Výsledek
18Zjednodušte:   i.|z + i|2 - (1 + i) + |z + i|2 - (i + 1).|z|2, kde z je kompl.číslo BHelp Výsledek
19V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | = 2 CHelp Výsledek
20V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   |- 4 - 2i|.| z - 4 - 2i | = 0 BHelp Výsledek
21V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   |+ 12 | = 12 CHelp Výsledek
22V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z -4 + 4i |.| 1 - z |.| (z - )/2| = 0 BHelp Výsledek
23V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z. - 2 |.| z. - 4 |.| |z| - 4 | = 0 BHelp Výsledek
24V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 3i | 10 CHelp Výsledek
25V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   1 | z - 2i | 4 BHelp Výsledek
26V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | < 6 CHelp Výsledek
27V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   0,4 | z + 1 - i | 2,4 BHelp Výsledek
28V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + 1 - 4i | > 8 CHelp Výsledek
29V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | | z + 1 | BHelp Výsledek
30V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
31V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | | z + i | BHelp Výsledek
32V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + - i | < 1 BHelp Výsledek
33V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
34Zapište rovnici, která má obraz oboru pravdivosti v Gaus.rovině osu ůsečky určené obrazy čísel 2, i. BHelp Výsledek
35V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + 1 - i | 0,5 CHelp Výsledek
36V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | | z + 2i | a současně | z - 2 | < 4 BHelp Výsledek
37V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
38V Gaus.r. zobrazte k.čísla z, pro něž platí:   2 < | z - 1 + 2i | < 7 | z + 2i | a současně | z + 1 + 3i | 2 BHelp Výsledek
39V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | 1 - i | > |z| 1 CHelp Výsledek
40V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
41V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | 2 - 3i | |z| > | 1 + 2i | CHelp Výsledek
42V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
43V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + i | | z + 1 |CHelp Výsledek
44V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
45V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
46V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
47V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí zároveň:   |z| 1 , |z - i| |z| , |z-1| 1AHelp Výsledek
48V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
49V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí zároveň:   |z| 2 , |z +1-i| , |z-1-i| BHelp Výsledek
50V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí zároveň:   |z-1-i|=1 , |z-i|=|z-1|BHelp Výsledek
51V množině C řešte rovnici s neznámou z:   |z| - z = 1 + 2iBHelp Výsledek
52V množině C řešte rovnici s neznámou z:   z2 + |z| = 0AHelp Výsledek
53V množině C řešte rovnici s neznámou z:   BHelp Výsledek
54V množině C řešte rovnici s neznámou z:   BHelp Výsledek
55Rozložte v součin výrazy:   a) 4x2+1 b) 5 + 2y2 CHelp Výsledek
56Vypočtěte:   BHelp Výsledek
57V Gaussově rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | = 3 CHelp Výsledek
58Vypočtěte:   BHelp Výsledek
59Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí::   |z - 1 - i| = z CHelp Výsledek
60Vypočtěte:   BHelp Výsledek
61Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=a+iCHelp Výsledek
62Vypočtěte:   ||2 - 3i| - i|2 + i||BHelp Výsledek
63Vypočtěte:   BHelp Výsledek
64Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=a(3+4i)CHelp Výsledek
65Vypočtěte:   ||2 + 3i|2 + (2 + 3i)2|BHelp Výsledek
66Určete všechna reálná čísla a tak, aby číslo z bylo kompl.jednotkou:   z=1/2+aiCHelp Výsledek
67Vypočtěte:   BHelp Výsledek
68Vypočtěte:   AHelp Výsledek
69Vypočtěte:   BHelp Výsledek
70Určete všechna kompl.čísla z, která vyhovují soustavě rovnic:   AHelp Výsledek
71Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí::   |z + 1| = |z - 2i|BHelp Výsledek
72Zjednodušte:   i.|z + i|2 - (1 + i) + |z + i|2 - (i + 1).|z|2, kde z je kompl.číslo BHelp Výsledek
73V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | = 2 CHelp Výsledek
74V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   |- 4 - 2i|.| z - 4 - 2i | = 0 BHelp Výsledek
75V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   |+ 12 | = 12 CHelp Výsledek
76V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z -4 + 4i |.| 1 - z |.| (z - )/2| = 0 BHelp Výsledek
77V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z. - 2 |.| z. - 4 |.| |z| - 4 | = 0 BHelp Výsledek
78V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 3i | 10 CHelp Výsledek
79V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   1 | z - 2i | 4 BHelp Výsledek
80V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | < 6 CHelp Výsledek
81V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   0,4 | z + 1 - i | 2,4 BHelp Výsledek
82V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + 1 - 4i | > 8 CHelp Výsledek
83V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | | z + 1 | BHelp Výsledek
84V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
85V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - i | | z + i | BHelp Výsledek
86V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + - i | < 1 BHelp Výsledek
87V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
88Zapište rovnici, která má obraz oboru pravdivosti v Gaus.rovině osu ůsečky určené obrazy čísel 2, i. BHelp Výsledek
89V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + 1 - i | 0,5 CHelp Výsledek
90V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z - 1 | | z + 2i | a současně | z - 2 | < 4 BHelp Výsledek
91V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   AHelp Výsledek
92V Gaus.r. zobrazte k.čísla z, pro něž platí:   2 < | z - 1 + 2i | < 7 | z + 2i | a současně | z + 1 + 3i | 2 BHelp Výsledek
93V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | 1 - i | > |z| 1 CHelp Výsledek
94V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
95V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | 2 - 3i | |z| > | 1 + 2i | CHelp Výsledek
96V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
97V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   | z + i | | z + 1 |CHelp Výsledek
98V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
99V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
100V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
101V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí zároveň:   |z| 1 , |z - i| |z| , |z-1| 1AHelp Výsledek
102V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí:   BHelp Výsledek
103V Gaus.rovině zobrazte všechna kompl.čísla z, pro něž platí zároveň:   |z-1-i|=1 , |z-i|=|z-1|BHelp Výsledek
104V množině C řešte rovnici s neznámou z:   |z| - z = 1 + 2iBHelp Výsledek
105V množině C řešte rovnici s neznámou z:   z2 + |z| = 0AHelp Výsledek
106V množině C řešte rovnici s neznámou z:   BHelp Výsledek
107V množině C řešte rovnici s neznámou z:   BHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!