| Matika krokem - 7.lekce ... |
|
Limita, derivace a integrál 7.lekce - Určitý integrál a jeho aplikace |
Vytisknout |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Skype výuka, doučování
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A. Výklad a ukázkové příklady
Určitý integrál Ke každé funkci spojité v intervalu <a,b> existuje primitivní funkce v tomto intervalu. Pomocí primitivní funkce je definován tzv. určitý integrál a umožňuje řešit řadu úloh např. na výpočet obsahu rovinných útvarů a objemu rotačních těles.
Určitý integrál je na rozdíl od neurčitého integrálu jednoznačně definované reálné číslo. Jakou má toto číslo geometrickou interpretaci? 
Mějme dánu spojitou a nezápornou funkci f v intervalu <a,b>.Potom udává učitý integrál 
obsah útvaru U (na obrázku) ohraničeného grafem funkce f, osou x a přímkami x = a , x = b. Tedy: = S(U)Příklad 61: Vypočtěte 
Výpočet určitého integrálu Při výpočtu primitivní funkce používáme pravidel a vět poznaných v předchozí lekci. Navíc uvedeme některé poučky o mezích integrálu:
Příklad 62: Vypočtěte  x(1 - x)2dx
Lze samozřejmě používat i metodu per partes a substituční metodu. U substituční metody je třeba pamatovat na to, že při zavedení pomocné proměnné se také změní integrační meze! Příklad 63: Vypočtěte 
Příklad 64: Vypočtěte  (3x + 2)lnx dx
Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu je možné vypočítat obsah rovinných útvarů, objemy rotačních těles a délky rovinných křivek. Velké uplatnění má určitý integrál také ve fyzice a chemii. Obsah rovinného útvaru Pokud se jedná o rovinný útvar omezený osou x, přímkami x=a , x=b a grafem spojité, nezáporné funkce y = f(x), pak je jeho obsah dán určitým integrálem, jak bylo uvedeno u geometrické interpretace určitého integrálu.
Pokud funkce y = f(x) v intervalu <a,b> nabývá nekladných hodnot, pak vypočteme absolutní hodnotu
příslušného určitého integrálu: S(U) = | | = - Jestliže funkce y = f(x) nabývá v intervalu <a,b> jak kladných, tak i záporných hodnot, potom tento interval rozdělíme na dílčí intervaly, ve kterých funkce nabývá pouze nekladných hodnot resp. nezáporných hodnot a vypočteme obsahy podle předcházejících úvah. Příklad 65: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkou y = x2 - 1 , osou x a přímkami x = -2 , x = 3.
Vztah platí i v případě, že některá z funkcí nabývá záporných hodnot (jako je tomu na obrázku u funkce g). Jestliže víme, že křivky y = f(x) , y = g(x) se v intervalu (a,b) neprotínají, nemusíme zjišťovat, zda f(x) > g(x) nebo f(x) < g(x). Vypočteme absolutní hodnotu z inegrálu rozdílu funkcí: 
Příklad 66: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = 3 - x2 , y = 2x.
Jestliže je útvar omezen třemi a více křivkami, je ho třeba rozložit na několik částí. Příklad 67: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami f: y = x2 , g: y = x2/3, h: y = 8 - x2
Objem rotačního tělesa 
Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí
určitého integrálu.
Příklad 68: Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kuželu s poloměrem podstavy r a výškou v.
Příklad 69: Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami x2 - y2 = 4, y = -2 , y = 2 kolem osy y.
A to již konec kurzu Limita , derivace, integrál. Přehled použité a doporučené literatury: PhDr.Ivan Bušek - Řešené maturitní úlohy z matematiky, SPN 1988 Petr Benda a kol. - Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN 1983 RNDr.Dag Hrubý, RNDr.Josef Kubát - Matematika pro gymnázia - Diferenciální a integrální počet, Prometheus 1997 Prof.dr.Beloslav Riečan, DrSc. a kol. - Matematika pro IV.ročník gymnázií, SPN 1987 František Vejsada, František Talafous - Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia, SPN 1969 B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele C. Příklady na procvičení učiva Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce. Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
D. Kontrolní test E.Náhodný test F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem) Komunikace s učitelem (tutorem): Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.33 - 2.13 = 52
Funkce y = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) protíná osu x v bodech x = -1, x = 1 
= [x3/3 - x]-1-2 + |[x3/3 - x]1-1| + [x3/3 - x]31 =
-1/3 + 1 - (-8/3 + 2) + |1/3 - 1 - (-1/3 + 1)| + 22/3 - 3 - (1/3 - 1 ) = 28/3 j2
f(x) - viz obrázek), potom pro jeho obsah platí:
.
První křivkou je parabola a druhou je přímka - viz obrázek. Abychom určili meze určitého integrálu, musíme zjistit
průsečíky křivek.Řešíme rovnici:
= [3x - x3/3 - x2]1-3 =
3 - 1/3 - 1 - (-9 + 9 - 9) = 11 - 1/3 = 32/3. 
8 - x2 = x2
a x = 
=
[2x3/9]20 + [8x - 4x3/9]
Vyjádříme y: y = rx/v
= pr2v/3 j3
Křivkou omezující rotující útvar je rovnosá hyperbola (a=b=2) pro y z intervalu <-2,2>.
Vznikne rotační těleso znázorněné na obrázku. 
= p(8 + 8/3 + 8 + 8/3) =
= 64p/3 j3