Matika krokem - 6.lekce ...

Limita, derivace a integrál
6.lekce - Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrace
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Primitivní funkce

V předchozích lekcích jsme se naučili derivovat, kdy jsme z dané funkce hledali derivovanou funkci. Nyní se budeme zabývat řešením úlohy v opačném směru, z derivované funkce určit funkci výchozí. Tato funkce se nejen v matematice hledá velmi často a jmenuje se primitivní funkce.

Funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a,b) jestliže F´(x) = f(x) pro všechna x(a,b). (42)

Tak např. funkce  F(x) = x5  je primitivní funkcí k funkci  f = 5x4   v R, protože v R platí: F´(x) = [x5]' = 5x4 = f(x).
Volně a nepřesně řečeno: Primitivní funkcí k dané funkci je tedy funkce, kterou když zderivujeme, dostaneme danou funkci.

Příklad 49: Najděte primitivní funkci F k funkci f: y = 3x2 - 2x v R.
= Lze celkem snadno usoudit, že člen 3x2 vznikl derivací x3 a člen 2x derivací x2.
Primitivní funkcí tedy bude: F(x) = x3 - x2.
Snadno se vždy přesvědčíme o správnosti nalezené primitivní funkce derivováním. Derivací primitivní funkce musí být funkce daná. To samozřejmě platí: F´(x) = [x3 - x2]´ = 3x2 - 2x.
Ale co kdyby někdo prohlásil, že primitivní funkcí k naší funkci f je také funkce G(x) = x3 - x2 + 1, protože: G´(x) = [x3 - x2 + 1]´ = 3x2 - 2x = f(x).
Samozřejmě má pravdu. Navíc to platí nejen pro jedničku, ale pro jakoukoliv konstantu C, protože po zderivování "zmizí".
Množinou všech primitivních funkcí k funkci f: y = 3x2 - 2x je funkce F: y = x3 - x2 + C

Není tedy nalezení primitivní funkce (na rozdíl od derivování) jednoznačný proces , ale platí:

Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f, pak každá další primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + C, kde C je reálná konstanta. (43)


Neurčitý integrál

Nyní ještě zavedeme několik nových pojmů:

Operaci, kterou určujeme primitivní funkci F(x) + C k dané funkci f(x) nazýváme integrováním (inverzní operace k derivování).
Zápis úlohy intergrovat funkci f(x) provádíme: = F(x) + C,
kde se symbol nazývá neurčitý integrál a představuje množinu všech primitivních funkcí F(x) + C.
se nazývá integrační znak, f(x) integrand, dx diferenciál x, označuje integrační proměnnou a C je integrační konstanta.
(44)

Zadání předchozího příkladu č.49 ( Najděte primitivní funkci F k funkci f: y = 3x2 - 2x ) bychom mohli pomocí nových pojmů přeformulovat takto:

Integrujte funkci f: y = 3x2 - 2x. Zápis: (3x2 - 2x)dx.
Výsledek, který jsme získali ( Množina všech primitivních funkcí F je y = x3 - x2 + C ) zapíšeme:

(3x2 - 2x)dx = x3 - x2 + C.


Integrování funkcí

Z pravidel pro derivování elementárních funkcí (lekce 3) lze odvodit odpovídající pravidla integrování elementárních funkcí:

a dx = ax + C , a je reálná konstanta
xn dx = + C , n-1
= ln|x| + C , x0
ex dx = ex + C
ax dx = + C
sinx dx = -cosx + C
cosx dx = sinx + C
dx = tgx + C
dx = -cotgx + C
(45)

Dále lze dokázat platnost věty o integraci součtu a rozdílu funkcí:
c.f(x) dx = c f(x) dx          konstantu (v součinu) lze vyjmout před integrál
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx          v součtu integrujeme jednotlivé sčítance
[f(x) - g(x)] dx = f(x) dx - g(x) dx          v rozdílu také integrujeme jednotlivé členy
Pozor! Neznáme pravidlo pro integraci součinu a integraci podílu funkcí.
(46)

Nyní si uvedená pravidla ukážeme na příkladech:

Příklad 50: Vypočtěte (x2 - 4x + 5) dx
= Použijeme pravidla (46) a integrujeme člen po členu:
= x2 dx - 4. x dx + 5. dx =
Nyní použijeme pravidla (45) pro integraci elementárních funkcí:
= x3/3 - 4x2/2 + 5.x + C = x3/3 - 2x2 + 5x + C

Příklad 51: Vypočtěte (3ex -2sinx + 5) dx
= = 3ex - 2sinx dx + 5 dx = 3ex - 2(-cosx) + 5x + C = 3ex + 2cosx + 5x + C

V příkladech obsahujících součin popř. mocninu, nejprve provedeme příslušné operace a potom integrujeme člen po členu.

Příklad 52: Vypočtěte (x - 1)2(x + 2) dx
= Nejprve umocníme a vynásobíme:
= (x2 - 2x + 1)(x + 2) dx = (x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2) dx = (x3 - 3x + 2) dx =
Nyní již integrujeme člen po členu:
= x4/4 - 3x2/2 + 2x + C

Obdobně postupujeme v příkladech obsahujících podíl.

Příklad 53: Vypočtěte
= Nejprve zlomek rozložíme na dílčí zlomky a ty zjednodušíme (osdstraníme):
= = (3x2 - 4x + 1,5x-1) dx =
A opět již integrujeme člen po členu:
= 3x2 - 4x dx + 1,5x-1 + C = 3x3/3 - 4x2/2 + 1,5ln|x| + C = x3 - 2x2 + 1,5ln|x| + C

Odmocniny převádíme na mocniny s racionálním exponentem.

Příklad 54: Vypočtěte dx
= Nejprve převedeme na mocniny s racionálním exponentem a rozdělíme na jednoduché zlomky:

Zlomky odstraníme a integrujeme člen po členu:

Nakonec převedeme zpět na odmocniny:

Na závěr příklad s geometrickou tematikou:

Příklad 55: Určete křivku, která prochází bodem A[-4,5] a jejíž tečna v libovolném jejím bodě [x,y] má směrnici 2x + 4.
= Směrnice tečny je dána derivací funkce a tedy ze směrnice dostaneme zpětně funkci integrací.
y = (2x + 4) dx = x2 + 4x + C.
Integrační konstantu C určíme z podmínky, že má procházet bodem A - dosadíme:
5 = (-4)2 + 4(-4) + C    a tedy    C = 5
Hledaná křivka má rovnici:    y = x2 + 4x + 5    a jedná se o parabolu.
Výsledek:   Hledanou křivkou ja parabola    y = x2 + 4x + 5

Pro výpočet integrálů složitějších funkcí slouží celá řada integračních metod. Uvedeme zde dvě nejdůležitější - metodu per partes a metodu substituční.

Per partes

Metoda per partes - integrace po částech - vychází z derivace součinu funkcí:
(uv)´ = u´v + uv´
Odtud dostáváme:
uv = u´v dx + uv´dx
Vyjádříme-li první integrál dostáváme výsledný vztah:

u´v dx = uv - uv´dx (47)

Příklad 56: Vypočtěte x.cosx dx.
= V metodě per partes výpočet integrálu na levé straně (47) nahrazujeme integrálem vpravo. Ten musíme umět samozřejmě vypočítat.
Musíme tedy rozhodnout, jak dosadit do vztahu (47) za funkce u' a v, abychom si s integrálem vpravo poradili. Zkusíme zvolit   u´= x   a   v = cosx. Potom by platilo:   u = x2/2   a   v´= -sinx   Po dosazení do (47) by vzniklo:
x.cosx dx = x2/2.cosx - x2/2.(-sinx) dx
Tento integrál je ale ještě složitější než původní. Proto zvolíme obráceně:
u´ = cosx   a   v = x . Potom   u = sinx   a v´ = 1
Po dosazení vznikne:
x.cosx dx = x.sinx - 1.sinx dx =
Tento integrál snadno vypočteme a tím požadovaný, zadaný integrál:
= x.sinx - (-cosx) + C = x.sinx + cosx + C
Zkouška: F'(x) = [x.sinx + cosx + C]' = 1.sinx + x.cosx + (-sinx) = x.cosx = f(x) ... OK
Výsledek:   x.cosx dx = x.sinx + cosx + C

V některých případech musíme metoda per partes opakovat několikrát.

Příklad 57: Vypočtěte x2.sinx dx.
= Podobně jako v předchozím příkladě zvolíme   u´ = sinx   a   v = x2. Potom   u = -cosx   a   v´ = 2x . Po dosazení vznikne:
x2.sinx dx = -x2.cosx + 2x.cosx dx =
Na tento integrál použijeme per partes ještě jednou. Zvolíme   u´ = cosx   a   v = x. Potom   u = sinx   a   v´ = 1   a pokračujeme:
= -x2.cosx + 2(x.sinx - sinx dx) = -x2.cosx + 2x.sinx + 2cosx + C
Výsledek:   x2.sinx dx = -x2.cosx + 2x.sinx + 2cosx + C

Někdy se zase při opakované aplikaci per partes objeví znovu původní integrál. Potom tento integrál ze vzniklé rovnice prostě vyjádříme (jako neznámou ze vzorce).

Příklad 58: Vypočtěte ex.sinx dx.
= Zvolíme   u´ = ex   a   v = sinx. Potom   u = ex   a   v´ = cosx a dosadíme:
ex.sinx dx = ex.sinx - ex.cosx dx =
Použijeme ještě jednou per partes. Zvolíme   u´ = ex   a   v = cosx. Potom   u = ex   a   v´ = -sinx   a dosadíme:
= ex.sinx - (ex.cosx + ex.sinx dx)   , ale to je původní integrál.
Vznikla tedy rovnice: ex.sinx dx = ex.sinx - ex.cosx - ex.sinx dx ,
ze které ho vyjádříme. Nejprve převedeme na jednu stranu, separujeme:
2 ex.sinx dx = ex.sinx - ex.cosx
A dostáváme tedy konečný výsledek:
ex.sinx dx = ex/2.(sinx - cosx) + C
Výsledek:    ex.sinx dx = ex/2.(sinx - cosx) + C



Substituční metoda

Tato metoda umožňuje zavedením nové, pomocné proměnné převést integrovanou funkci na funkci, kterou lze integrovat snadněji.
Přesněji to můžeme formulovat takto: Složenou funkci f(g(x)) zavedením pomocné proměnné t = g(x) převedeme na funkci f(t) a diferenciál dx vyjádříme pomocí diferenciálu dt. Vzniklý jednodušší integrál proměnné t vypočítáme a nakonec se opět vrátíme k původní proměnné x.

f(g(x)).g´(x) dx = f(t) dt    ,    kde   t = g(x) (48)


Na příkladech si ukážeme použití této metody.

Příklad 59: Vypočtěte (2x - 3)5 dx.
= Zkusme zavést neznámou t = 2x - 3. Potom t´ = 2 .
Derivaci t´ můžeme zapsat také jako podíl diferenciálů t´ = dt/dx. Tento zápis přesněji vyjadřuje co derivujeme (t) a podle jaké proměnné (x).
Tedy   dt/dx = 2.
Z této rovnice můžeme vyjádřit dx = dt/2.
Potom již můžeme dosadit do původního integrálu:
(2x - 3)5 dx = t5 dt/2 = 1/2t5 dt =
Tento integrál snadno vypočteme:
= 1/2.t6/6 = 1/12.t6 =
A nakonec se vrátíme zpět k proměnné x a přidáme integrační konstantu C:
= 1/12.(2x - 3)6 + C
Zkouška:   [1/12.(2x - 3)6 + C]' = 6.1/12.(2x - 3)5.2 = (2x - 3) 5
Výsledek:    (2x - 3)5 dx = 1/12.(2x - 3)6 + C

Příklad 60: Vypočtěte
= Zavedeme substituci t = 3x2 + 1. Potom t´ = 6x = dt/dx.
Z této rovnice vyjádřit .
Nyní již můžeme dosadit do původního integrálu:
=
Po dosazení nové pomocné proměnné (t) musí původní proměnná (x) vždy zmizet!
(Jinak je tato substituce nepoužitelná a musíme volit jinak)
Tento integrál s proměnnou t snadno vypočteme a opět se vrátíme k proměnné x:
=
Absolutní hodnotu můžeme vynechat, protože je výraz 3x2 + 1 vždy kladný.
Výsledek:    = 5/6.ln(3x2 + 1) + C



B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vyjádřete závislost dráhy tělesa na čase t, je-li v čase 0 s jeho dráha i rychlost nulová a platí-li pro jeho zrychlení a = -sint.       


Příklad 2:    Vypočtěte:       


Příklad 3:    Metodou per partes vypočtěte: cos2x dx       


Příklad 4:    Substituční metodou vypočtěte: 6x.sin(x2+1) dx       


Příklad 5:    Tečna grafu funkce f: y = f(x) prochází bodem B[e,-2] a má směrnici obecně danou rovnicí k = 3 - 2x-1. Určete rovnci funkce f.       


Příklad 6:    Vypočtěte:       


Příklad 7:    Vypočtěte: sin(lnx)dx       


Příklad 8:    Vypočtěte: x3 cos(3x2)dx       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte (1 + x2)2 dxCHelp Výsledek
2Vypočtěte x.cosx dxBHelp Výsledek
3Vypočtěte tg2x dxCHelp Výsledek
4Vypočtěte x2.sinx dxBHelp Výsledek
5Vypočtěte x3.lnx dxBHelp Výsledek
6Vypočtěte CHelp Výsledek
7Vypočtěte (x2 + x - 2).lnx dxBHelp Výsledek
8Vypočtěte CHelp Výsledek
9Vypočtěte BHelp Výsledek
10Vypočtěte BHelp Výsledek
11Vypočtěte CHelp Výsledek
12Vypočtěte BHelp Výsledek
13Vypočtěte CHelp Výsledek
14Vypočtěte BHelp Výsledek
15Vypočtěte BHelp Výsledek
16Vypočtěte CHelp Výsledek
17Vypočtěte BHelp Výsledek
18Vypočtěte CHelp Výsledek
19Vypočtěte BHelp Výsledek
20Vypočtěte (sinx + tgx)dxBHelp Výsledek
21Vypočtěte CHelp Výsledek
22Vypočtěte BHelp Výsledek
23Vypočtěte CHelp Výsledek
24Vypočtěte BHelp Výsledek
25Vypočtěte BHelp Výsledek
26Vypočtěte CHelp Výsledek
27Vypočtěte BHelp Výsledek
28Vypočtěte CHelp Výsledek
29Vypočtěte BHelp Výsledek
30Vypočtěte (1 - x)5 dxBHelp Výsledek
31Vypočtěte CHelp Výsledek
32Vypočtěte BHelp Výsledek
33Vypočtěte CHelp Výsledek
34Vypočtěte (ax + b)n dxBHelp Výsledek
35Vypočtěte BHelp Výsledek
36Vypočtěte CHelp Výsledek
37Vypočtěte BHelp Výsledek
38Vypočtěte CHelp Výsledek
39Vypočtěte BHelp Výsledek
40Vypočtěte BHelp Výsledek
41Vypočtěte CHelp Výsledek
42Vypočtěte BHelp Výsledek
43Vypočtěte CHelp Výsledek
44Vypočtěte BHelp Výsledek
45Vypočtěte BHelp Výsledek
46Vypočtěte CHelp Výsledek
47Vypočtěte BHelp Výsledek
48Vypočtěte CHelp Výsledek
49Vypočtěte BHelp Výsledek
50Vypočtěte BHelp Výsledek
51Vypočtěte CHelp Výsledek
52Vypočtěte e3x dxBHelp Výsledek
53Vypočtěte CHelp Výsledek
54Vypočtěte BHelp Výsledek
55Vypočtěte BHelp Výsledek
56Vypočtěte CHelp Výsledek
57Vypočtěte BHelp Výsledek
58Vypočtěte (ex - 2sinx)dxCHelp Výsledek
59Vypočtěte sinx2dxBHelp Výsledek
60Určete křivku, která procházíbodem A[-4,5] a její tečna v libovolném jejím bodě [x,y] má směrnici 2x + 4.BHelp Výsledek
61Vypočtěte 2(cos-2x + sin-2x)dxCHelp Výsledek
62Vypočtěte BHelp Výsledek
63Vypočtěte AHelp Výsledek
64Určete závislost dráhy na čase t pro těleso pohybující se rychlostí v(t) = At2 + Bt + C , je-li A = 1 m/s3, B = 1 m/s2, C = -1 m/s BHelp Výsledek
65Vypočtěte BHelp Výsledek
66Vypočtěte AHelp Výsledek
67Vypočtěte BHelp Výsledek
68Vypočtěte AHelp Výsledek
69Vypočtěte BHelp Výsledek
70Vypočtěte BHelp Výsledek
71Vypočtěte AHelp Výsledek
72Vypočtěte BHelp Výsledek
73Vypočtěte AHelp Výsledek
74Vypočtěte BHelp Výsledek
75Vypočtěte BHelp Výsledek
76Vypočtěte AHelp Výsledek
77Vypočtěte BHelp Výsledek
78Vypočtěte AHelp Výsledek
79Vypočtěte BHelp Výsledek
80Vypočtěte BHelp Výsledek
81Vypočtěte AHelp Výsledek
82Vypočtěte BHelp Výsledek
83Vypočtěte AHelp Výsledek
84Vypočtěte BHelp Výsledek
85Vypočtěte BHelp Výsledek
86Vypočtěte AHelp Výsledek
87Vypočtěte BHelp Výsledek
88Vypočtěte AHelp Výsledek
89Vypočtěte BHelp Výsledek
90Vypočtěte BHelp Výsledek
91Vypočtěte AHelp Výsledek
92Vypočtěte BHelp Výsledek
93Vypočtěte BHelp Výsledek
94Vypočtěte BHelp Výsledek
95Vypočtěte AHelp Výsledek
96Vypočtěte BHelp Výsledek
97Vypočtěte AHelp Výsledek
98Vypočtěte BHelp Výsledek
99Vypočtěte BHelp Výsledek
100Vypočtěte AHelp Výsledek
101Vypočtěte (1 + x2)2 dxCHelp Výsledek
102Vypočtěte x.cosx dxBHelp Výsledek
103Vypočtěte tg2x dxCHelp Výsledek
104Vypočtěte x2.sinx dxBHelp Výsledek
105Vypočtěte x3.lnx dxBHelp Výsledek
106Vypočtěte CHelp Výsledek
107Vypočtěte (x2 + x - 2).lnx dxBHelp Výsledek
108Vypočtěte CHelp Výsledek
109Vypočtěte BHelp Výsledek
110Vypočtěte BHelp Výsledek
111Vypočtěte CHelp Výsledek
112Vypočtěte BHelp Výsledek
113Vypočtěte CHelp Výsledek
114Vypočtěte BHelp Výsledek
115Vypočtěte BHelp Výsledek
116Vypočtěte CHelp Výsledek
117Vypočtěte BHelp Výsledek
118Vypočtěte CHelp Výsledek
119Vypočtěte BHelp Výsledek
120Vypočtěte (sinx + tgx)dxBHelp Výsledek
121Vypočtěte CHelp Výsledek
122Vypočtěte BHelp Výsledek
123Vypočtěte CHelp Výsledek
124Vypočtěte BHelp Výsledek
125Vypočtěte BHelp Výsledek
126Vypočtěte CHelp Výsledek
127Vypočtěte BHelp Výsledek
128Vypočtěte CHelp Výsledek
129Vypočtěte BHelp Výsledek
130Vypočtěte (1 - x)5 dxBHelp Výsledek
131Vypočtěte CHelp Výsledek
132Vypočtěte BHelp Výsledek
133Vypočtěte CHelp Výsledek
134Vypočtěte (ax + b)n dxBHelp Výsledek
135Vypočtěte BHelp Výsledek
136Vypočtěte CHelp Výsledek
137Vypočtěte BHelp Výsledek
138Vypočtěte CHelp Výsledek
139Vypočtěte BHelp Výsledek
140Vypočtěte BHelp Výsledek
141Vypočtěte CHelp Výsledek
142Vypočtěte BHelp Výsledek
143Vypočtěte CHelp Výsledek
144Vypočtěte BHelp Výsledek
145Vypočtěte BHelp Výsledek
146Vypočtěte CHelp Výsledek
147Vypočtěte BHelp Výsledek
148Vypočtěte CHelp Výsledek
149Vypočtěte BHelp Výsledek
150Vypočtěte BHelp Výsledek
151Vypočtěte CHelp Výsledek
152Vypočtěte e3x dxBHelp Výsledek
153Vypočtěte CHelp Výsledek
154Vypočtěte BHelp Výsledek
155Vypočtěte BHelp Výsledek
156Vypočtěte CHelp Výsledek
157Vypočtěte BHelp Výsledek
158Vypočtěte (ex - 2sinx)dxCHelp Výsledek
159Vypočtěte sinx2dxBHelp Výsledek
160Určete křivku, která procházíbodem A[-4,5] a její tečna v libovolném jejím bodě [x,y] má směrnici 2x + 4.BHelp Výsledek
161Vypočtěte 2(cos-2x + sin-2x)dxCHelp Výsledek
162Vypočtěte BHelp Výsledek
163Vypočtěte AHelp Výsledek
164Určete závislost dráhy na čase t pro těleso pohybující se rychlostí v(t) = At2 + Bt + C , je-li A = 1 m/s3, B = 1 m/s2, C = -1 m/s BHelp Výsledek
165Vypočtěte BHelp Výsledek
166Vypočtěte AHelp Výsledek
167Vypočtěte BHelp Výsledek
168Vypočtěte AHelp Výsledek
169Vypočtěte BHelp Výsledek
170Vypočtěte BHelp Výsledek
171Vypočtěte AHelp Výsledek
172Vypočtěte BHelp Výsledek
173Vypočtěte AHelp Výsledek
174Vypočtěte BHelp Výsledek
175Vypočtěte BHelp Výsledek
176Vypočtěte AHelp Výsledek
177Vypočtěte BHelp Výsledek
178Vypočtěte AHelp Výsledek
179Vypočtěte BHelp Výsledek
180Vypočtěte BHelp Výsledek
181Vypočtěte AHelp Výsledek
182Vypočtěte BHelp Výsledek
183Vypočtěte AHelp Výsledek
184Vypočtěte BHelp Výsledek
185Vypočtěte BHelp Výsledek
186Vypočtěte AHelp Výsledek
187Vypočtěte BHelp Výsledek
188Vypočtěte AHelp Výsledek
189Vypočtěte BHelp Výsledek
190Vypočtěte BHelp Výsledek
191Vypočtěte AHelp Výsledek
192Vypočtěte BHelp Výsledek
193Vypočtěte BHelp Výsledek
194Vypočtěte BHelp Výsledek
195Vypočtěte AHelp Výsledek
196Vypočtěte BHelp Výsledek
197Vypočtěte AHelp Výsledek
198Vypočtěte BHelp Výsledek
199Vypočtěte BHelp Výsledek
200Vypočtěte AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!