Matika krokem - 5.lekce ...

Limita, derivace a integrál
5.lekce - Aplikace derivace funkce
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Derivace funkce má široké uplatnění nejen v matematice, ale i ve fyzice, chemii i ostatních přírodních vědách. Pokud známe funkci, charakterizující určitý děj, potom derivace této funkce popisuje okamžitou změnu tohoto děje, tedy okamžitou rychlost děje. To je hlavní motiv řady příkladů, z nichž některé si ukážeme. Rozdělíme je do několika oblastí:


Tečna a normála grafu funkce

Touto aplikací derivace jsme se již zabývali v 3.lekci, proto jenom stručně shrneme. Derivace funkce udává směrnici tečny kt ke grafu funkce f v bodě T[xo,yo].
Rovnice tečny grafu funkce v bodě T[xo,yo] má tvar:
y - yo = kt(x - xo)
Normála je přímka procházející bodem T kolmo k tečně, její směrnice kn = -1/kt a rovnice:
y - yo = kn(x - xo)
Příklady najdete ve zmiňované 3.lekci.


Nalezení největší (nejmenší) hodnoty

V úlohách typu najděte nejkratší vzdálenost, největší objem, maximální rychlost atd. aplikujeme hledání globálních (lokálních) extrémů na funkci, popisující aktuální veličinu.

Příklad 40: Vypočtěte rozměry co největšího (plochou) obdélníkového výběhu pro slepice, máme-li na oplocení k dispozici 50 m pletiva a jednu stranu výběhu tvoří stěna budovy.
= Označme šířku obdélníkového výběhu x a délku y metrů (podle obrázku). Vzhledem k délce pletiva platí:    2x + y = 50
tedy    y = 50 - 2x    kde    x (0,25)
Pro obsah výběhu platí:    S = x.y = x.(50 - 2x)
Obsah výběhu je funkcí jeho šířky x.
Máme určit, kdy je obsah největší, tedy hledáme globální maximum funkce f:
S = x.y = x.(50 - 2x) = 50x - 2x2    pro x (0,25).
Derivace    S' = 50 - 4x je zde spojitá a jediným stacionárním bodem je x = 12,5.
Vlevo od tohoto bodu je derivace kladná (např. S´(10) = 10) , vpravo záporná (např. S´(20) = -30), proto v bodě x = 12,5 nastává lokální maximum pro hodnotu S. Protože je to jediný extrém, je to i globální extrém - největší hodnota funkce.
Délka výběhu potom bude y = 50 - 2.12,5 = 25 m.
Výsledek:   Výběh má největší obsah pro délku 25 m a šířku 12,5 m.


Obecně tedy musíme nejprve určit funkci popisující zkoumanou závislost a splňující dané podmíny.
(V našem příkladě funkci vyjadřující obsah výběhu při dané délce pletiva)
Požadovaná funkce musí mít pouze jednu proměnnou - jen u funkcí jedné proměnné dokážeme zatím zjišťovat jejich průběh a další vlastnosti.
Potom u této funkce hledáme globální extrémy.

Příklad 41: Na válcovou konzervu se má spotřebovat 5 dm2 bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší objem?
= Označme poloměr podstavy válcové konzervy r a její výšku v podle obrázku.
Objem této konzervy určuje funkce f:    V = p.r2.v
U této funkce nás podle zadání zajímá globální maximum.
Má to ale háček. Jednak je to funkce dvou proměnných r, v (její průběh zatím neumíme prozkoumat) a druhak funkce nesplňuje podmínku ohledně spotřeby plechu.
Spotřeba plechu na konzervu je dána jejím povrchem:    S = 2.p.r2 + 2.p.r.v
Musí platit:    5 = 2.p.r2 + 2.p.r.v
Výška konzervy v (ta se bude vyjadřovat snadněji) musí splňovat podmínku:    5 - 2.p.r2 = 2.p.r.v
Tedy: v = (5 - 2.p.r)/(2.p.r)
Dosadíme za v do funkce pro objem:   V = p.r2.r.(5 - 2.p.r)/2 = 2,5.r - p.r3
a tím jsme našli požadovanou funkci jedné proměnné splňující zadané podmínky.
Nyní budeme hledat její globální maximum. První derivace:    V´ = 2,5 - 3.p.r2    má nulový bod    (druhý, opačný nemá pro nás význam). Vlevo od něho (je to přibližně 0,515) je derivace kladná (V´(0) = 2,5 > 0) a vpravo je záporné (V´(1) = 2,5 - 3.p < 0). Proto v tomto bodě nastává lokální maximum. Protože je to v intervalu (0,+) jediný extrém, je zároveň i globální maximum této funkce. Poloměr požadované konzervy je tedy přesně       , zaokrouhleně    r = 0,515 dm.
Zbývá dopočítat výšku konzervy:   (což je přibližně 1,03 dm).
Výsledek:   Maximální objem má konzerva pro poloměr přibližně 5,15 cm a výšku přibližně 10,3 cm.


A něco z fyziky.

Příklad 42: Výkon baterie s elektromotorickým napětím Ue a vnitřním odporem Ri je P = UeI - I2Ri. Při jakém proudu bude výkon maximální?
= Vzhledem k otázce považujeme vztah    P = UeI - I2Ri    za funkci vyjadřující závislost výkonu P na proměnné I (Ue, Ri jsou konstatnty) a budeme hledat její maximum.
Derivace P podle I je:    PI´ = Ue - 2.I.Ri   
Stacionární body získáme řešením rovnice:    Ue - 2.I.Ri = 0    s neznámou I.
Stacionární bodem je:    I = Ue/2.RI.
Vlevo od tohoto bodu (např. pro Ue/4.RI) je 1.derivace kladná (PI´(Ue/4.RI) = Ue - 2.(Ue/4.RI).Ri = Ue/2 > 0)
Vpravo od tohoto bodu (např. pro Ue/.RI) je 1.derivace záporná (PI´(Ue/RI) = Ue - 2.(Ue/RI).Ri = Ue - 2.Ue = -Ue < 0)
Pro I = Ue/2.RI nabývá tedy P maxima.
Výsledek:   Maximálního výkonu baterie dosahuje při proudu I = Ue/2.RI .



l´Hospitalovo pravidlo

Při výpočtu limit nám dělal problémy neurčitý výraz typu , tedy , kde f(xo) = g(xo) = 0. Zkusme se na tento případ podívat jinak - "derivačně". Vyjádřeme limitu podílu derivací funkcí ve zmíněném bodě xo:
, protože g(xo) = f(xo) = 0
Tím dostáváme první l´Hospitalovo pravidlo, které umožňuje z existence limity podílu derivovaných funkcí vypočítat limitu podílu funkcí u tohoto neurčitého výrazu :

první l´Hospitalovo pravidlo:
Máme-li vypočítat limitu , neurčitého výrazu typu a jsou-li derivace f´(x), g´(x) spojité v bodě xo, g´(xo) 0 a existuje limita , pak je to i hledaná limita, tedy platí:
(39)


Příklad 43: Vypočtěte:
= Jedná se o neurčitý výraz typu .
Vypočteme derivaci čitatele a derivaci jmenovatele:
f´(x) = 5.x4
g´(x) = 3.x2
Obě derivace jsou v každém bodě (tedy i v bodě x = 1) spojité a g´(1) = 3 0. Múžeme tedy l´Hospitalovým pravidlem vypočítat limitu pomocí derivací:
a to je i výsledná, hledaná limita.
Výsledek:   


l´Hospitalovo pravidlo lze aplikovat i opakovaně:

Příklad 44: Vypočtěte:
= Jedná se o neurčitý výraz typu
Vypočteme derivaci čitatele a derivaci jmenovatele:
f´(x) = 5.sin5x
g´(x) = 6x
Po aplikaci l´Hospitalova pravidla: dostáváme opět neurčitý výraz typu
Vypočteme opět derivaci čitatele a derivaci jmenovatele:
f´(x) = 25.cos5x
g´(x) = 6
Tentokrát již požadovaná limita derivovaných funkcí existuje:
a tím dostáváme i výslednou, hledanou limitu.
Výsledek:   


Obdobným způsobem lze na výpočet limity typu aplikovat druhé l'Hospitalovo pravidlo. :

druhé l´Hospitalovo pravidlo:
Máme-li vypočítat limitu , neurčitého výrazu typu a existuje limita , pak je to i hledaná limita, tedy platí: . Pravidlo platí i pro limity v nevlastních bodech a jednostranné limity.
(40)


Příklad 45: Vypočtěte:
= Jedná se o neurčitý výraz typu
Vypočteme derivaci čitatele a derivaci jmenovatele:
f´(x) = 1/x
g´(x) = r.xr-1
Múžeme tedy l´Hospitalovým pravidlem vypočítat limitu pomocí derivací:
a to je i výsledná, hledaná limita.
Výsledek:   


I druhé l´Hospitalovo pravidlo lze aplikovat opakovaně, dokonce ho lze kombinovat s prvním pravidlem.

Ostatní typy neurčitých výrazů lze převést na tyto dva typy a počítat je také l´Hospitalovým pravidlem.

Příklad 46: Vypočtěte:
= Jedná se o neurčitý výraz typu 0., který převedeme na typ takto:

a vypočteme pomocí l´Hospitalova pravidla:

Výsledek:   


Neurčité typy nejprve zlogaritmujeme, potom převedeme na typ nebo a požijeme l´Hospitalova pravidla. Nakonec odlogaritmujeme a vypočteme původní limitu.

Příklad 47: Vypočtěte:
= Jedná se o neurčitý výraz typu .
Výraz označíme A a zlogaritmujeme:
.
Nyní vypočítáme limitu zlogaritmovaného výrazu l´Hospitalovým pravidlem:

Nakonec odlogaritmujeme a vrátíme se k původní limitě:

Výsledek:   



Přibližné řešení rovnic

Při numerickém řešení rovnice opakovaně počítáme přibližné hodnoty (aproximace) kořenu a tím se přibližujeme k hodnotě skutečného kořenu rovnice dokud není dosaženo požadovné přesnosti.
Jednou z používaných metod je Newtonova metoda (metoda tečen).

Jako první aproximaci (x1) kořene rovnice v intervalu <A,B> použijeme střed tohoto intervalu. V něm sestrojíme tečnu a její průsečík s osou x je novou aproximací (x2) kořene. V tomto bodě sestrojíme opět tečnu atd.

Další, přesnější, novou aproximaci kořene tedy hledáme jako průsečík tečny ve staré aproximaci s osou x.

Máme-li řešit rovnici f(x) = 0 , pak rovnice tečny ve starém průsečíku (xn) bude    y - f(xn) = f´(xn)(x - xn)
Průsečík s osou x získáme vyjádřením x z rovnice:   0 - f(xn) = f´(xn)(x - xn) Tedy: x = xn - f(xn)/f´(xn)
Tento průsečík bude novou aproximací (xn+1) kořene.

Výsledný vztah pro výpočet nové aproximace tedy zní: xn+1 = xn - f(xn)/f´(xn)

Tento proces opakujeme tak dlouho, dokud nedosáhneme požadované přesnosti, tedy dokud absolutní hodnota rozdílu xn+1 - xn nebude menší než dané číslo - požadovaná přesnost.

Přibližné řešení rovnice f(x) = 0:
Další aproximaci kořene z předchozí vypočteme užitím vztahu:
a první aproximaci volíme střed intervalu obsahujícího kořen.
(41)


Příklad 48: Najděte přibližně kořen rovnice x4 + x - 1 = 0 v intervalu (0,1)
= Určímen nejprve derivaci funkce f(x) = x4 + x - 1
f'(x) = 4.x3 + 1
První aproximací kořene zvolíme střed intervalu: x1 = 0,5
Druhou aproximaci vypočteme užitím vztahu: x2 = x1 - f(x1)/f´(x1) , kde f(x1) = 0,54 + 0,5 - 1 = -0,4375 a f´(x1) = 4.0,53 + 1 = 1,5
tedy x2 = 0,5 + 0,4375/1,5 0,7919
Třetí aproximaci vypočteme obdobně: x3 = x2 - f(x2)/f´(x2) , kde f(x2) = 0,79194 + 0,7919 - 1 = 0,184564 a f´(x2) = 4.0,79193 + 1 = 2,984916
tedy x3 = 0,7919 - 0,184564/2,984916 0,72987
Čtvrtá aproximace: x4 = x3 - f(x3)/f´(x3) , x4 = 0,72987 - 0,0136447/2,555224 0,72453
Tak bychom mohli pokračovat dál a aproximaci kořene upřesňovat.
Abychom odhadli, jaké chyby jsme se dopustili, vypočteme:
f(0,72) -0,11 < 0
f(0,724) -0,0012 < 0
f(0,7245) 0,00002 > 0
Kořen rovnice je tedy v intervalu (0,724 ; 0,7245) a odhadem chyby naší poslední aproximace x4 je polovina délky tohoto intervalu, tedy 0,0005/2 = 0,00025
Výsledek:   Kořenem rovnice je x = 0,72453 s chybou 0,00025.


B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Bazén má mít tvar pravoúhlého rovnoběžnostěnu s objemem 200 m3. Délka má být čtyřnásobkem šířky. 1 m2 základny je dvakrát levnější než 1 m2 stěny. Jaké mají být rozměry bazénu, aby její stavba byla nejlevnější?       


Příklad 2:    Pomocí l´Hospitalova pravidla vypočtěte:       


Příklad 3:    Najděte přibližně kořen rovnice: 2x3 + x2 + x - 1 = 0 v intervalu (0,2).       


Příklad 4:    Do půlkružnice o poloměru r vepište obdélník maximálního obsahu.       


Příklad 5:    Pomocí l´Hospitalova pravidla vypočtěte:       


Příklad 6:    Najděte přibližně kořen rovnice: x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 v intervalu (3,4).s přesností 0,01.       


Příklad 7:    Dvě auta se pohybují po přímých navzájem kolmých drahách stálou rychlostí v = 20 m/s směrem ke křižovatce. V čase t=0 s je jedno auto vzdáleno od křižovatky 100 m, druhé 200 m. Určete čas t, ve kterém bude vzdálenost aut nejmenší a kolik tato vzdálenost bude.       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Celkové náklady na elektrické vedení s příčným řezem S jsou S=k1S+k2/S, kde k1,k2 jsou kladné kostanty.Najděte příčný řez S tak, aby náklady byly minimálnní.CHelp Výsledek
2Silážní jáma má mít tvar pravoúhlého rovnoběžnostěnu s objemem 200 m3. Délka má být čtyřnásobkem šířky. 1 m2 základny je dvakrát levnější než 1 2 stěny. Jaké mají být rozměry silážní jámy, aby její stavba byla nejlevnější?BHelp Výsledek
3Najděte přibližně kořen rovnice 2x3 - x2 - 7x + 5 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,001.BHelp Výsledek
4Objem vody závisí na teplotě t podle empirického vztahu V(t)=Vo[1+8,38.10-6(t-4)2],kde t je teplota ve stupních Celsia. Při jaké teplotě bude objem daného množství vody minimální?CHelp Výsledek
5Průmyslový závod Z je vzdálen 5 km od silnice vedoucí do města M, přitom vzdálenost Z od M je 13 km. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat spojku k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Nálady na 1 tunu na 1 km po původní silnici 0,50 Kč, na nové spojnici třikrát vyšší.BHelp Výsledek
6Najděte kužel, který má při daném povrchu maximální objem.BHelp Výsledek
7Najděte kužel, který má při daném objemu minimální povrch.BHelp Výsledek
8Vypočtěte: AHelp Výsledek
9Najděte válec, který má při daném objemu minimální povrch.BHelp Výsledek
10Do dané koule vepište kužel maximálního objemu.BHelp Výsledek
11Do kružnice s polomerem r vepište rovnostranný trojúhelník maximálního obsahu.BHelp Výsledek
12Vypočtěte: AHelp Výsledek
13Ze všech kruhových výsečí s daným obvodem 2s vyberte takovou, která má největší obsah.BHelp Výsledek
14Najděte přibližně kořen rovnice tgx = x v intervalu (4 rad,5 rad) s přesností 0,0001.BHelp Výsledek
15Vypočtěte: CHelp Výsledek
16Do dané koule vepište válec maximálního objemu.BHelp Výsledek
17Vypočítejte vzdálenost bodu [1,1] od přímky 2x - y + 3 = 0 užitím derivace funkce.BHelp Výsledek
18Vypočtěte: AHelp Výsledek
19Najděte minimální vzdálenost bodů paraboly 2x2 - 2y - 9 = 0 od počátku soustavy souřadnic.BHelp Výsledek
20Najděte minimální vzdálenost bodů hyperboly x2 - y2 + 4 = 0 od bodu [1,0].BHelp Výsledek
21Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou 5, vyberte ten, který má maximální obsah.BHelp Výsledek
22Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl minimální.CHelp Výsledek
23Je dán pravidelný čtyřboký hranol s povrchem S. Určete jeho rozměry tak, aby jeho objem byl maximální.BHelp Výsledek
24Na parabole y = x2, najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu [3,2].BHelp Výsledek
25Vypočtěte: CHelp Výsledek
26Do trojúhelníku je vepsán obdélník o největším obsahu. Vypočtěte tento obsah.BHelp Výsledek
27Najděte přibližně kořen rovnice 2x = 4x intervalu (0,1) s přesností 0,00001.BHelp Výsledek
28Číslo 100 rozdělte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl co největší.CHelp Výsledek
29Vypočtěte: BHelp Výsledek
30Nádrž na vodu má mít čtvercové dno, objem 256 m,sup>3 a tvar kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna byla nejmenší.BHelp Výsledek
31Rameno a menší základna rovnoramenného lichoběžníka mají velikost a. Určete velikost jeho větší základny, aby obsah lichoběžníka byl maximální.BHelp Výsledek
32Do půlkružnice o poloměru r je vepsán lichoběžník, jehož základnou je průměr půlkružnice. Určete vnitřní úhly lichoběžníku tak, aby jeho obsah byl maximální.BHelp Výsledek
33Číslo 100 rozdělte na dva sčítance tak, aby součet jejich druhých mocnin byl co nejmenší.CHelp Výsledek
34Kolikrát je větší objem koule než objem největšího válce do této koule vepsaného?BHelp Výsledek
35Určete, který bod křivky 2x2 - 2y - 9 = 0 má od bodu M[0,0] minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
36Najděte přibližně kořen rovnice x.logx = 1 v intervalu (2,3) s přesností 0,0001.BHelp Výsledek
37Průřezem podkroví chaty je rovnoramenný trojúhelník. V podkroví chaty je místnost o šířce 3,2 m a výšce 2,4 m. Určete nejkratší možnou délku střechy.AHelp Výsledek
38Určete, který bod křivky x2 - y2 + 4 = 0 má od bodu M[1,0] minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
39Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a, výška k základně je v a úhly při základně jsou ostré, má být byříznuta obdélníková deska, přičemž jedna strana obdélníka je části základny. Určete rozměry obdélníka tak, aby jeho obsah byl maximální.BHelp Výsledek
40Vypočtěte: BHelp Výsledek
41Chceme oplotit výběh pro slepice, který má mít tvar pravoúhlého trojúhelníku. Přitom máme k disposici 200 m drátěného pletiva a víme, že část plotu budou tvořit stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys o stranách 16 m a 10 m. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah?BHelp Výsledek
42Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Určete délku nejdelšího žebříku, který lze ve vodorovné poloze přenést z jedné chodby do druhé..AHelp Výsledek
43Půdorys divadelního jeviště je sjednocením obdélníku a půlkruhu. Obvod půdorysu je 40 m.. Určete rozměry půdorysu, víte-li, že byly stanoveny tak, aby obsah půdorysu jeviště byl největší.BHelp Výsledek
44Z lepenky tvaru čtverce o straně a se mají v rozích vyříznout čtverce o straně velikosti x tak, aby vznikla síť kvádru bez horní podstavy. Určete velikost x strany čtverce, víte-li, že objem kvádru vytvořeného z této sítě má být největší.BHelp Výsledek
45Vypočtěte: BHelp Výsledek
46Dvě auta se pohybují po přímých navzájem kolmých drahách stálou rychlostí v=20 m/s směrem ke křižovatce. V čase to s je jedno auto vzdáleno od křižovatky 100 m, druhé 200 m. Určete čas t, ve kterém bude vzdálenost aut nejmenší a určete tuto minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
47Bodem M[3,6] je vedena přímka tak,aby trojúhelník vytvořený tou přímkou a jejími úseky na kladných poloosách měl nejmenší obsah. Napište její rovnici.AHelp Výsledek
48Najděte přibližně kořen rovnice x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 v intervalu (3,4) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
49Vypočtěte: BHelp Výsledek
50Vypočtěte: CHelp Výsledek
51Kouli o poloměru r je vepsán kvádr se čtvercovou podstavou maximálního objemu. Určete jeho rozměry.BHelp Výsledek
52Na rohové trojúhelníkové parcele s přeponou 8 m a s úhlem 60o má být postavena chata s obdélníkovou podstavou. Jaké musí být rozměry základů budovy, aby zastavěná plocha byla co nejmenší?BHelp Výsledek
53Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu bylo ochlazování páry ve válci nejmenší, tj. aby povrch válce byl minimální. Porovnejte výšku a poloměr podstavy tohoto válce.AHelp Výsledek
54Kolikrát je větší objem koule než objem největšího válce, který je té kouli vepsán?BHelp Výsledek
55Vypočtěte: BHelp Výsledek
56Z válcovitého kmene o poloměru r se má vytesat trám co největší hmotnosti. Jaké rozměry musí mít průřez trámu, je-li jeho nosnost dána vztahem k=k.s.v2, kde k je konstanta, s je šířka a v výška průřezu?BHelp Výsledek
57Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 3x2 - x - 2 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,1.CHelp Výsledek
58V kuželové věžičce o poloměru podstavy r a výšce v je třeba zřídit válcovou místnost maximálního objemu. Jaké bude mít rozměry?BHelp Výsledek
59Vypočtěte: BHelp Výsledek
60Vypočtěte: BHelp Výsledek
61Z lepenky tvaru obdélníka o stranách a, b (a>b) se mají v rozích vyříznout čtverce o straně velikosti x tak, aby vznikla síť bez horní podstavy pro kvádr s maximálním objemem. Určete velikost x strany čtverce.AHelp Výsledek
62Vypočtěte: BHelp Výsledek
63Najděte přibližně kořen rovnice x5 + 5x2 + 1 = 0 v intervalu (-1,0) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
64Vypočtěte: BHelp Výsledek
65Jakou nejdelší dřevěnou tyč je možnosplavit z kanálu širokého 1 m do řeky, která je kolmá na kanál, má přímé rovnoběžné břehy a její šířka je 8 m?AHelp Výsledek
66Vypočtěte: BHelp Výsledek
67Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 2x2 - 6x + 2 = 0 v intervalu (1,2) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
68Vypočtěte: BHelp Výsledek
69Průřez odpadového kanálu má tvar rovnoramenného lichoběžníka. Jeho hloubka je h dm, obsah průřezu P dm2. Jaký bude sklon bočních stěn, jestliže náklady na vyzdění kanálu při daných rozměrech má byt minimální.AHelp Výsledek
70Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 2x2 - 6x + 2 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
71Vypočtěte: BHelp Výsledek
72Vypočtěte: CHelp Výsledek
73Najděte přibližně kořen rovnice x.ex = 2 v intervalu (0,1) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
74Vypočtěte: BHelp Výsledek
75Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 3x2 - x - 2 = 0 v intervalu (-1,0) s přesností 0,1.CHelp Výsledek
76Celkové náklady na elektrické vedení s příčným řezem S jsou S=k1S+k2/S, kde k1,k2 jsou kladné kostanty.Najděte příčný řez S tak, aby náklady byly minimálnní.CHelp Výsledek
77Silážní jáma má mít tvar pravoúhlého rovnoběžnostěnu s objemem 200 m3. Délka má být čtyřnásobkem šířky. 1 m2 základny je dvakrát levnější než 1 2 stěny. Jaké mají být rozměry silážní jámy, aby její stavba byla nejlevnější?BHelp Výsledek
78Najděte přibližně kořen rovnice 2x3 - x2 - 7x + 5 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,001.BHelp Výsledek
79Objem vody závisí na teplotě t podle empirického vztahu V(t)=Vo[1+8,38.10-6(t-4)2],kde t je teplota ve stupních Celsia. Při jaké teplotě bude objem daného množství vody minimální?CHelp Výsledek
80Průmyslový závod Z je vzdálen 5 km od silnice vedoucí do města M, přitom vzdálenost Z od M je 13 km. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat spojku k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Nálady na 1 tunu na 1 km po původní silnici 0,50 Kč, na nové spojnici třikrát vyšší.BHelp Výsledek
81Najděte kužel, který má při daném povrchu maximální objem.BHelp Výsledek
82Najděte kužel, který má při daném objemu minimální povrch.BHelp Výsledek
83Vypočtěte: AHelp Výsledek
84Najděte válec, který má při daném objemu minimální povrch.BHelp Výsledek
85Do dané koule vepište kužel maximálního objemu.BHelp Výsledek
86Do kružnice s polomerem r vepište rovnostranný trojúhelník maximálního obsahu.BHelp Výsledek
87Vypočtěte: AHelp Výsledek
88Ze všech kruhových výsečí s daným obvodem 2s vyberte takovou, která má největší obsah.BHelp Výsledek
89Najděte přibližně kořen rovnice tgx = x v intervalu (4 rad,5 rad) s přesností 0,0001.BHelp Výsledek
90Vypočtěte: CHelp Výsledek
91Do dané koule vepište válec maximálního objemu.BHelp Výsledek
92Vypočítejte vzdálenost bodu [1,1] od přímky 2x - y + 3 = 0 užitím derivace funkce.BHelp Výsledek
93Vypočtěte: AHelp Výsledek
94Najděte minimální vzdálenost bodů paraboly 2x2 - 2y - 9 = 0 od počátku soustavy souřadnic.BHelp Výsledek
95Najděte minimální vzdálenost bodů hyperboly x2 - y2 + 4 = 0 od bodu [1,0].BHelp Výsledek
96Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou 5, vyberte ten, který má maximální obsah.BHelp Výsledek
97Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl minimální.CHelp Výsledek
98Je dán pravidelný čtyřboký hranol s povrchem S. Určete jeho rozměry tak, aby jeho objem byl maximální.BHelp Výsledek
99Na parabole y = x2, najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu [3,2].BHelp Výsledek
100Vypočtěte: CHelp Výsledek
101Do trojúhelníku je vepsán obdélník o největším obsahu. Vypočtěte tento obsah.BHelp Výsledek
102Najděte přibližně kořen rovnice 2x = 4x intervalu (0,1) s přesností 0,00001.BHelp Výsledek
103Číslo 100 rozdělte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl co největší.CHelp Výsledek
104Vypočtěte: BHelp Výsledek
105Nádrž na vodu má mít čtvercové dno, objem 256 m,sup>3 a tvar kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna byla nejmenší.BHelp Výsledek
106Rameno a menší základna rovnoramenného lichoběžníka mají velikost a. Určete velikost jeho větší základny, aby obsah lichoběžníka byl maximální.BHelp Výsledek
107Do půlkružnice o poloměru r je vepsán lichoběžník, jehož základnou je průměr půlkružnice. Určete vnitřní úhly lichoběžníku tak, aby jeho obsah byl maximální.BHelp Výsledek
108Číslo 100 rozdělte na dva sčítance tak, aby součet jejich druhých mocnin byl co nejmenší.CHelp Výsledek
109Kolikrát je větší objem koule než objem největšího válce do této koule vepsaného?BHelp Výsledek
110Určete, který bod křivky 2x2 - 2y - 9 = 0 má od bodu M[0,0] minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
111Najděte přibližně kořen rovnice x.logx = 1 v intervalu (2,3) s přesností 0,0001.BHelp Výsledek
112Průřezem podkroví chaty je rovnoramenný trojúhelník. V podkroví chaty je místnost o šířce 3,2 m a výšce 2,4 m. Určete nejkratší možnou délku střechy.AHelp Výsledek
113Určete, který bod křivky x2 - y2 + 4 = 0 má od bodu M[1,0] minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
114Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a, výška k základně je v a úhly při základně jsou ostré, má být byříznuta obdélníková deska, přičemž jedna strana obdélníka je části základny. Určete rozměry obdélníka tak, aby jeho obsah byl maximální.BHelp Výsledek
115Vypočtěte: BHelp Výsledek
116Chceme oplotit výběh pro slepice, který má mít tvar pravoúhlého trojúhelníku. Přitom máme k disposici 200 m drátěného pletiva a víme, že část plotu budou tvořit stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys o stranách 16 m a 10 m. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah?BHelp Výsledek
117Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Určete délku nejdelšího žebříku, který lze ve vodorovné poloze přenést z jedné chodby do druhé..AHelp Výsledek
118Půdorys divadelního jeviště je sjednocením obdélníku a půlkruhu. Obvod půdorysu je 40 m.. Určete rozměry půdorysu, víte-li, že byly stanoveny tak, aby obsah půdorysu jeviště byl největší.BHelp Výsledek
119Z lepenky tvaru čtverce o straně a se mají v rozích vyříznout čtverce o straně velikosti x tak, aby vznikla síť kvádru bez horní podstavy. Určete velikost x strany čtverce, víte-li, že objem kvádru vytvořeného z této sítě má být největší.BHelp Výsledek
120Vypočtěte: BHelp Výsledek
121Dvě auta se pohybují po přímých navzájem kolmých drahách stálou rychlostí v=20 m/s směrem ke křižovatce. V čase to s je jedno auto vzdáleno od křižovatky 100 m, druhé 200 m. Určete čas t, ve kterém bude vzdálenost aut nejmenší a určete tuto minimální vzdálenost.BHelp Výsledek
122Bodem M[3,6] je vedena přímka tak,aby trojúhelník vytvořený tou přímkou a jejími úseky na kladných poloosách měl nejmenší obsah. Napište její rovnici.AHelp Výsledek
123Najděte přibližně kořen rovnice x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 v intervalu (3,4) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
124Vypočtěte: BHelp Výsledek
125Vypočtěte: CHelp Výsledek
126Kouli o poloměru r je vepsán kvádr se čtvercovou podstavou maximálního objemu. Určete jeho rozměry.BHelp Výsledek
127Na rohové trojúhelníkové parcele s přeponou 8 m a s úhlem 60o má být postavena chata s obdélníkovou podstavou. Jaké musí být rozměry základů budovy, aby zastavěná plocha byla co nejmenší?BHelp Výsledek
128Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu bylo ochlazování páry ve válci nejmenší, tj. aby povrch válce byl minimální. Porovnejte výšku a poloměr podstavy tohoto válce.AHelp Výsledek
129Kolikrát je větší objem koule než objem největšího válce, který je té kouli vepsán?BHelp Výsledek
130Vypočtěte: BHelp Výsledek
131Z válcovitého kmene o poloměru r se má vytesat trám co největší hmotnosti. Jaké rozměry musí mít průřez trámu, je-li jeho nosnost dána vztahem k=k.s.v2, kde k je konstanta, s je šířka a v výška průřezu?BHelp Výsledek
132Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 3x2 - x - 2 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,1.CHelp Výsledek
133V kuželové věžičce o poloměru podstavy r a výšce v je třeba zřídit válcovou místnost maximálního objemu. Jaké bude mít rozměry?BHelp Výsledek
134Vypočtěte: BHelp Výsledek
135Vypočtěte: BHelp Výsledek
136Z lepenky tvaru obdélníka o stranách a, b (a>b) se mají v rozích vyříznout čtverce o straně velikosti x tak, aby vznikla síť bez horní podstavy pro kvádr s maximálním objemem. Určete velikost x strany čtverce.AHelp Výsledek
137Vypočtěte: BHelp Výsledek
138Najděte přibližně kořen rovnice x5 + 5x2 + 1 = 0 v intervalu (-1,0) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
139Vypočtěte: BHelp Výsledek
140Jakou nejdelší dřevěnou tyč je možnosplavit z kanálu širokého 1 m do řeky, která je kolmá na kanál, má přímé rovnoběžné břehy a její šířka je 8 m?AHelp Výsledek
141Vypočtěte: BHelp Výsledek
142Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 2x2 - 6x + 2 = 0 v intervalu (1,2) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
143Vypočtěte: BHelp Výsledek
144Průřez odpadového kanálu má tvar rovnoramenného lichoběžníka. Jeho hloubka je h dm, obsah průřezu P dm2. Jaký bude sklon bočních stěn, jestliže náklady na vyzdění kanálu při daných rozměrech má byt minimální.AHelp Výsledek
145Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 2x2 - 6x + 2 = 0 v intervalu (0,1) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
146Vypočtěte: BHelp Výsledek
147Vypočtěte: CHelp Výsledek
148Najděte přibližně kořen rovnice x.ex = 2 v intervalu (0,1) s přesností 0,01.BHelp Výsledek
149Vypočtěte: BHelp Výsledek
150Najděte přibližně kořen rovnice x4 + 3x2 - x - 2 = 0 v intervalu (-1,0) s přesností 0,1.CHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!